Страница 109 номер 291, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением

1) \(b_{1}\) и \(q\), если \(b_{3} = 135\), \(S_{3} = 195\)

Распишем \(b_{3}\) по формуле \(n\)-го члена геометрической прогрессии:

\(b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}\)
\(b_{3} = b_{1} \cdot q^{3 - 1}\)

Выразим отсюда \(b_{1}\):

\(b_{1} = \dfrac{b_{3}}{q^{2}}\)

Подставим полученное значение \(b_{1}\) в формулу суммы \(n\) первых членов геометрической прогрессии:

\(S_{n} = \dfrac{b_{1} \cdot \left(1 - q^{n}\right)}{1 - q}\)
\(S_{3} = \dfrac{b_{1} \cdot \left(1 - q^{3}\right)}{1 - q} = \dfrac{b_{3} \cdot \left(1 - q^{3}\right)}{q^{2} \cdot \left(1 - q\right)}\)

Подставим сюда данные значения \(b_{3}\) и \(S_{3}\) и получим уравнение с неизвестным \(q\):

\(195 = \dfrac{135 \cdot \left(1 - q^{3}\right)}{q^{2} \cdot \left(1 - q\right)}\)
\(135 \cdot (1 - q^{3}) = 195 \cdot q^{2} \cdot (1 - q)\)

Разложим \((1 - q^{3})\) на множители по формуле разности кубов:

\(1 - q^{3} = (1 - q) \cdot (1 + q + q^{2})\)
\(135 \cdot (1 - q) \cdot (1 + q + q^{2}) = 195 \cdot q^{2} \cdot (1 - q)| : (1 - q)\), \(q \neq 1\)
\(135 \cdot (1 + q + q^{2}) = 195 \cdot q^{2}\)
\(135 + 135q + 135q^{2} = 195q^{2}\)
\(195q^{2} - 135q^{2} - 135q - 135 = 0\)
\(60q^{2} - 135q - 135 = 0| : 15\)
\(4q^{2} - 9q - 9 = 0\)
\(D = b^{2} - 4ac = 81 + 4 \cdot 9 \cdot 4 = 81 + 144 = 225, \sqrt{D} = 15\)
\(q_{1{,}2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\)
\(q_{1} = \dfrac{9 + 15}{2 \cdot 4} = \dfrac{24}{8} = 3\)
\(q_{2} = \dfrac{9 - 15}{2 \cdot 4} = \dfrac{-6}{8} = -\dfrac{3}{4}\)

Если \(q = -\frac{3}{4}\), то

\(b_{1} = \dfrac{b_{3}}{q^{2}} = 135 : {(-\dfrac{3}{4})}^{2} = 135 : \dfrac{9}{16} =\)
\(= 135 \cdot \dfrac{16}{9} = \dfrac{135 \cdot 16}{9} = \dfrac{2160}{9} = 240\)

Если \(q = 3\), то \(b_{1} = \frac{b_{3}}{q^{2}} = 135 : 3^{2} = 135 : 9 = 15\)

Ответ: \(q = -\frac{3}{4}\), \(b_{1} = 240\); \(q = 3\), \(b_{1} = 15\).

2) \(q\) и \(b_{3}\), если \(b_{1} = 12\), \(S_{3} = 372\)

По формуле \(S_{n} = \frac{b_{1} \cdot \left(1 - q^{n}\right)}{1 - q}\) имеем:

\(S_{3} = \dfrac{b_{1} \cdot \left(1 - q^{3}\right)}{1 - q}\)
\(372 = \dfrac{12 \cdot \left(1 - q^{3}\right)}{1 - q}\)
\(372 \cdot (1 - q) = 12 \cdot (1 - q^{3})\)

Разложим \((1 - q^{3})\) на множители по формуле разности кубов:

\(1 - q^{3} = (1 - q) \cdot (1 + q + q^{2})\)
\(372 \cdot (1 - q) = 12 \cdot (1 - q) \cdot (1 + q + q^{2})| : (1 - q)\), \(q \neq 1\)
\(372 = 12 \cdot (1 + q + q^{2})\)
\(12q^{2} + 12q + 12 - 372 = 0\)
\(12q^{2} + 12q - 360 = 0| : 12\)
\(q^{2} + q - 30 = 0\)

Воспользовавшись теоремой Виета найдем корни данного квадратного уравнения:

\(\begin{cases}q_{1} \cdot q_{2} = -30 \\ q_{1} + q_{2} = -1\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}q_{1} = -6 \\ q_{2} = 5\end{cases}\)

По формуле \(n\)-го члена геометрической прогрессии найдем \(b_{3}\):

\(b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}\)
\(b_{3} = b_{1} \cdot q^{3 - 1} = b_{1} \cdot q^{2}\)

Если \(q = -6\), то \(b_{3} = 12 \cdot (-6)^{2} = 12 \cdot 36 = 432\)

Если \(q = 5\), то \(b_{3} = 12 \cdot 5^{2} = 12 \cdot 25 = 300\)

Ответ: \(q = 5\), \(b_{3} = 300\); \(q = -6\), \(b_{3} = 432\).