Страница 63 номер 153, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением

1) 

\(\dfrac{a^{\frac{1}{4}} - a^{-\frac{7}{4}}}{a^{\frac{1}{4}} - a^{-\frac{3}{4}}}\)

Вынесем в числителе и знаменателе дроби общий множитель \(a^{\frac{1}{4}}\) за скобку:

\(\dfrac{a^{\frac{1}{4}}(1 - a^{-\frac{7}{4} - \frac{1}{4}})}{a^{\frac{1}{4}}(1 - a^{-\frac{3}{4} - \frac{1}{4}})} = \dfrac{a^{\frac{1}{4}}(1 - a^{-\frac{8}{4}})}{a^{\frac{1}{4}}(1 - a^{-\frac{4}{4}})} = \dfrac{1 - a^{-2}}{1 - a^{-1}}\)
\(1 - a^{-2} = 1 - \dfrac{1}{a^{2}} = \dfrac{a^{2} - 1}{a^{2}} = \dfrac{\left(a - 1\right)(a + 1)}{a^{2}}\)

В числителе дроби \((a^{2} - 1)\) мы разложили по формуле разности квадратов \(a^{2} - 1 = (a - 1)(a + 1)\)

В знаменателе дроби получаем:

\(1 - a^{-1} = 1 - \dfrac{1}{a} = \dfrac{a - 1}{a}\)

Подставим числитель и знаменатель в исходную дробь:

\(\dfrac{\left(a - 1\right)(a + 1)}{a^{2}} : \dfrac{a - 1}{a} = \dfrac{\left(a - 1\right)\left(a + 1\right) \cdot a}{a^{2}(a - 1)} = \dfrac{a + 1}{a}\)

Ответ: \(\frac{a + 1}{a}\)

2) 

\(\dfrac{a^{\frac{4}{3}} - a^{-\frac{2}{3}}}{a^{\frac{1}{3}} - a^{-\frac{2}{3}}}\)

Вынесем за скобку общий множитель \(a^{-\frac{2}{3}}\) в числителе и знаменателе дроби:

\(\dfrac{a^{-\frac{2}{3}}(a^{\frac{4}{3} + \frac{2}{3}} - 1)}{a^{-\frac{2}{3}}(a^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} - 1)} = \dfrac{a^{-\frac{2}{3}}(a^{\frac{6}{3}} - 1)}{a^{-\frac{2}{3}}(a^{\frac{3}{3}} - 1)} =\)
\(= \dfrac{a^{2} - 1}{a - 1} = \dfrac{\left(a - 1\right)(a + 1)}{(a - 1)} = a + 1\)

В числителе дроби \((a^{2} - 1)\) мы разложили по формуле разности квадратов \(a^{2} - 1 = (a - 1)(a + 1)\)

Ответ: \(a + 1\)

3) 

\(\dfrac{b^{\frac{5}{4}} + 2b^{\frac{1}{4}} + b^{-\frac{3}{4}}}{b^{\frac{3}{4}} + b^{-\frac{1}{4}}}\)

Чтобы упростить данное выражение вынесем в числителе и знаменателе дроби общий множитель за скобку:

\(\dfrac{b^{\frac{5}{4}} + 2b^{\frac{1}{4}} + b^{-\frac{3}{4}}}{b^{\frac{3}{4}} + b^{-\frac{1}{4}}} = \dfrac{b^{\frac{1}{4}}(b^{\frac{5}{4} - \frac{1}{4}} + 2 + b^{-\frac{3}{4} - \frac{1}{4}})}{b^{-\frac{1}{4}}(b^{\frac{3}{4} + \frac{1}{4}} + 1)} =\)
\(= \dfrac{b^{\frac{1}{4}}(b^{\frac{4}{4}} + 2 + b^{-\frac{4}{4}})}{b^{-\frac{1}{4}}(b^{\frac{4}{4}} + 1)} = \dfrac{b^{\frac{1}{4}}(b + 2 + b^{-1})}{b^{-\frac{1}{4}}(b + 1)}\)

Рассмотрим трехчлен, находящийся в скобках числителя дроби:

\(b + 2 + b^{-1} = b + 2 + \dfrac{1}{b}\)

Приведем полученное выражение к общему знаменателю:

\(\dfrac{b^{2}}{b} + \dfrac{2b}{b} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{b^{2} + 2b + 1}{b}\)

Здесь \((b^{2} + 2b + 1)\) представляет собой формулу квадрата суммы и сворачивается следующим образом:

\(b^{2} + 2b + 1 = {(b + 1)}^{2}\)

Тогда выражение в скобках числителя примет вид:

\(\dfrac{\left(b + 1\right)^{2}}{b}\)

Таким образом, исходное выражение примет вид:

\(\dfrac{b^{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}}(b + 1)^{2}}{b \cdot (b + 1)} = \dfrac{b^{\frac{2}{4}}(b + 1)}{b} = b^{\frac{1}{2} - 1}\left(b + 1\right) =\)
\(= b^{-\frac{1}{2}}\left(b + 1\right) = \dfrac{b + 1}{b^{\frac{1}{2}}} = \dfrac{b + 1}{\sqrt{b}}\)

Ответ: \(\frac{b + 1}{\sqrt{b}}\)

4) 

\(\dfrac{a^{-\frac{4}{3}}b^{-2} - a^{-2}b^{-\frac{4}{3}}}{a^{-\frac{5}{3}}b^{-2} - b^{-\frac{5}{3}}a^{-2}}\)

Чтобы упростить данное выражение, вынесем за скобку общий множитель в числителе и знаменателе дроби:

\(\dfrac{a^{-\frac{4}{3}}b^{-2}\left(1 - a^{-2 + \frac{4}{3}}b^{-\frac{4}{3} + 2}\right)}{a^{-\frac{5}{3}}b^{-2}\left(1 - b^{-\frac{5}{3} + 2}a^{-2 + \frac{5}{3}}\right)} =\)
\(= \dfrac{a^{-\frac{4}{3} - \left(-\frac{5}{3}\right)}\left(1 - a^{-\frac{6}{3} + \frac{4}{3}}b^{-\frac{4}{3} + \frac{6}{3}}\right)}{\left(1 - b^{-\frac{5}{3} + \frac{6}{3}}a^{-\frac{6}{3} + \frac{5}{3}}\right)} = \dfrac{a^{-\frac{4}{3} + \frac{5}{3}}\left(1 - a^{-\frac{2}{3}}b^{\frac{2}{3}}\right)}{\left(1 - b^{\frac{1}{3}}a^{-\frac{1}{3}}\right)} =\)
\(= \dfrac{a^{\frac{1}{3}}\left(1 - \frac{b^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{2}{3}}}\right)}{\left(1 - \dfrac{b^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}}}\right)} = \dfrac{a^{\frac{1}{3}}\left(1 - \left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{2}{3}}\right)}{\left(1 - \left(\dfrac{b}{a}\right)^{\frac{1}{3}}\right)} = \dfrac{a^{\frac{1}{3}}\left(1 - \left(\left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{1}{3}}\right)^{2}\right)}{\left(1 - \left(\dfrac{b}{a}\right)^{\frac{1}{3}}\right)}\)

Выражение в скобках числителя представляет собой формулу разности квадратов и раскладывается на множители следующим образом:

\(1 - \left(\sqrt[3]{\dfrac{b}{a}}\right)^{2} = \left(1 - \sqrt[3]{\dfrac{b}{a}}\right)\left(1 + \sqrt[3]{\dfrac{b}{a}}\right)\)

Здесь мы степень с рациональным показателем представили в виде корня, т.е \(\left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{\frac{b}{a}}\)

\(\dfrac{a^{\frac{1}{3}}\left(1 - \left(\left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{1}{3}}\right)^{2}\right)}{\left(1 - \left(\dfrac{b}{a}\right)^{\frac{1}{3}}\right)} = \dfrac{\sqrt[3]{a}\left(1 - \sqrt[3]{\frac{b}{a}}\right)\left(1 + \sqrt[3]{\frac{b}{a}}\right)}{\left(1 - \sqrt[3]{\dfrac{b}{a}}\right)} =\)
\(= \sqrt[3]{a}\left(1 + \sqrt[3]{\dfrac{b}{a}}\right) = \sqrt[3]{a} + \dfrac{\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b}}{\sqrt[3]{a}} = \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}\)

Ответ: \(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}\)

5) 

\(\dfrac{\sqrt{a^{3}b^{-1}} - \sqrt{a^{-1}b^{3}}}{\sqrt{ab^{-1}} - \sqrt{a^{-1}b}}\)

Представим корни в виде степени с рациональным показателем:

\(\dfrac{\left(a^{3}b^{-1}\right)^{\frac{1}{2}} - \left(a^{-1}b^{3}\right)^{\frac{1}{2}}}{\left(ab^{-1}\right)^{\frac{1}{2}} - \left(a^{-1}b\right)^{\frac{1}{2}}} = \dfrac{a^{\frac{3}{2}}b^{-\frac{1}{2}} - a^{-\frac{1}{2}}b^{\frac{3}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}b^{-\frac{1}{2}} - a^{-\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}}\)

Чтобы упростить данное выражение, вынесем общий множитель в числителе и знаменателе дроби за скобку

\(\dfrac{a^{\frac{3}{2}}b^{-\frac{1}{2}}\left(1 - a^{-\frac{1}{2} - \frac{3}{2}}b^{\frac{3}{2} + \frac{1}{2}}\right)}{a^{\frac{1}{2}}b^{-\frac{1}{2}}\left(1 - a^{-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}\right)} = \dfrac{a^{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}}\left(1 - a^{-\frac{4}{2}}b^{\frac{4}{2}}\right)}{\left(1 - a^{-1}b\right)} =\)
\(= \dfrac{a^{\frac{2}{2}}\left(1 - a^{-2}b^{2}\right)}{\left(1 - a^{-1}b\right)} = \dfrac{a\left(1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}\right)}{\left(1 - \dfrac{b}{a}\right)} =\)
\(= \dfrac{a\left(1 - \left(\frac{b}{a}\right)^{2}\right)}{\left(1 - \dfrac{b}{a}\right)} = \dfrac{a\left(1 - \frac{b}{a}\right)\left(1 + \frac{b}{a}\right)}{\left(1 - \dfrac{b}{a}\right)} = a\left(1 + \dfrac{b}{a}\right) = a + b\)

Ответ: \(a + b\)

6) 

\(\dfrac{a^{\frac{3}{4}}b^{-\frac{1}{4}} - a^{-\frac{1}{4}}b^{\frac{3}{4}}}{a^{\frac{1}{4}}b^{-\frac{1}{4}} + a^{-\frac{1}{4}}b^{\frac{1}{4}}}\)

Чтобы упростить данное выражение, вынесем общий множитель в числителе и знаменателе дроби за скобку

\(\dfrac{a^{\frac{3}{4}}b^{-\frac{1}{4}}\left(1 - a^{-\frac{1}{4} - \frac{3}{4}}b^{\frac{3}{4} + \frac{1}{4}}\right)}{a^{\frac{1}{4}}b^{-\frac{1}{4}}\left(1 + a^{-\frac{1}{4} - \frac{1}{4}}b^{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}}\right)} = \dfrac{a^{\frac{3}{4} - \frac{1}{4}}\left(1 - a^{-\frac{4}{4}}b^{\frac{4}{4}}\right)}{\left(1 + a^{-\frac{2}{4}}b^{\frac{2}{4}}\right)} =\)
\(= \dfrac{a^{\frac{2}{4}}\left(1 - a^{-1}b\right)}{\left(1 + a^{-\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}\right)} = \dfrac{a^{\frac{1}{2}}\left(1 - \frac{b}{a}\right)}{\left(1 + \dfrac{b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}}\right)} =\)
\(= \dfrac{\sqrt{a}\left(1 - \frac{b}{a}\right)}{1 + \dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}} = \dfrac{\sqrt{a}\left(1 - \frac{b}{a}\right)}{\left(1 + \sqrt{\dfrac{b}{a}}\right)}\)

Разложим \(\left(1 - \frac{b}{a}\right)\) по формуле разности квадратов

\(1 - \dfrac{b}{a} = 1 - \left(\sqrt{\dfrac{b}{a}}\right)^{2} = \left(1 - \sqrt{\dfrac{b}{a}}\right)\left(1 + \sqrt{\dfrac{b}{a}}\right)\)

Подставим результат в наше дробное выражение:

\(\dfrac{\sqrt{a}\left(1 - \sqrt{\frac{b}{a}}\right)\left(1 + \sqrt{\frac{b}{a}}\right)}{\left(1 + \sqrt{\dfrac{b}{a}}\right)} =\)
\(= \dfrac{\sqrt{a}\left(1 - \sqrt{\frac{b}{a}}\right)}{1} = \sqrt{a} - \dfrac{\sqrt{a}\sqrt{b}}{\sqrt{a}} = \sqrt{a} - \sqrt{b}\)

Ответ: \(\sqrt{a} - \sqrt{b}\)

7) 

\(\left(\dfrac{1 + \sqrt{ab}}{\sqrt[4]{ab}} + \dfrac{\sqrt[4]{a^{3}b} - \sqrt[4]{ab^{3}}}{\sqrt{b} - \sqrt{a}}\right)^{-2} \cdot \left(1 + \dfrac{b}{a} + 2\sqrt{\dfrac{b}{a}}\right)^{\frac{1}{2}}\)

а) Приведем дроби, находящиеся в первых скобках, к общему знаменателю:
\(\dfrac{\left(1 + \sqrt{ab}\right)\left(\sqrt{b} - \sqrt{a}\right) + \left(\sqrt[4]{a^{3}b} - \sqrt[4]{ab^{3}}\right)\sqrt[4]{ab}}{\sqrt[4]{ab}\left(\sqrt{b} - \sqrt{a}\right)} =\)
\(= \dfrac{\sqrt{b} - \sqrt{a} + \sqrt{ab}\sqrt{b} - \sqrt{ab}\sqrt{a} + \sqrt[4]{a^{3}b}\sqrt[4]{ab} - \sqrt[4]{ab^{3}}\sqrt[4]{ab}}{\sqrt[4]{ab}\left(\sqrt{b} - \sqrt{a}\right)}\)

Упростим числитель полученной дроби:

\(\sqrt{b} - \sqrt{a} + \sqrt{ab^{2}} - \sqrt{a^{2}b} + \sqrt[4]{a^{4}b^{2}} - \sqrt[4]{a^{2}b^{4}} =\)
\(= \sqrt{b} - \sqrt{a} + b\sqrt{a} - a\sqrt{b} + a\sqrt{b} - b\sqrt{a} = \sqrt{b} - \sqrt{a}\)

Следовательно, наша дробь примет вид:

\(\dfrac{\left(\sqrt{b} - \sqrt{a}\right)}{\sqrt[4]{ab} \cdot \left(\sqrt{b} - \sqrt{a}\right)} = \dfrac{1}{\sqrt[4]{ab}};\)
\(\left(\dfrac{1}{\sqrt[4]{ab}}\right)^{-2} = \dfrac{1}{\dfrac{1}{\left(\sqrt[4]{ab}\right)^{2}}} = \left(ab\right)^{\frac{2}{4}} = \left(ab\right)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{ab}\)

б) Рассмотрим выражение во вторых скобках
\(1 + 2\sqrt{\dfrac{b}{a}} + \dfrac{b}{a}\)

Оно представляет собой формулу квадрата суммы в развернутом виде, а, следовательно, его можно записать как:

\(1 + 2\sqrt{\dfrac{b}{a}} + \left(\sqrt{\dfrac{b}{a}}\right)^{2} = \left(1 + \sqrt{\dfrac{b}{a}}\right)^{2}\)

С учетом возведения вторых скобок в степень \(\frac{1}{2}\) получим:

\(\left(1 + \sqrt{\dfrac{b}{a}}\right)^{2 \cdot \frac{1}{2}} = 1 + \sqrt{\dfrac{b}{a}}\)

Подставим результат в исходное выражение:

\(\left(1 + \sqrt{\dfrac{b}{a}}\right) \cdot \sqrt{ab} = \sqrt{ab} + \dfrac{\sqrt{b^{2}a}}{\sqrt{a}} = \sqrt{ab} + \dfrac{\sqrt{b^{2}}\sqrt{a}}{\sqrt{a}} = \sqrt{ab} + b\)

Ответ: \(\sqrt{ab} + b\)

8) 

\(\left(\dfrac{a + b}{\sqrt[3]{a^{2}} - \sqrt[3]{b^{2}}} + \dfrac{\sqrt[3]{ab^{2}} - \sqrt[3]{a^{2}b}}{\sqrt[3]{a^{2}} - 2\sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^{2}}}\right) : \left(\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b}\right)\)

а) Рассмотрим дробное выражение, находящееся в первых скобках:
\(\dfrac{a + b}{\sqrt[3]{a^{2}} - \sqrt[3]{b^{2}}} = \dfrac{a + b}{\left(\sqrt[3]{a}\right)^{2} - \left(\sqrt[3]{b}\right)^{2}} = \dfrac{a + b}{\left(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}\right)\left(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}\right)} =\)
\(= \dfrac{\left(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}\right)\left(\sqrt[3]{a^{2}} - \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^{2}}\right)}{\left(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}\right)\left(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}\right)} = \dfrac{\sqrt[3]{a^{2}} - \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^{2}}}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}}\)

Здесь мы \((\sqrt[3]{a^{2}} - \sqrt[3]{b^{2}})\) разложили на множители по формуле разности квадратов, а \((a + b)\) разложили по формуле суммы кубов, то есть:

\(\sqrt[3]{a^{2}} - \sqrt[3]{b^{2}} = \left(\sqrt[3]{a}\right)^{2} - \left(\sqrt[3]{b}\right)^{2} = \left(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}\right)\left(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}\right)\)
\(a + b = \left(\sqrt[3]{a}\right)^{3} + \left(\sqrt[3]{b}\right)^{3} = \left(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}\right)\left(\sqrt[3]{a^{2}} - \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^{2}}\right)\)

б) 

\(\dfrac{\sqrt[3]{ab^{2}} - \sqrt[3]{a^{2}b}}{\sqrt[3]{a^{2}} - 2\sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^{2}}} = \dfrac{\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b^{2}} - \sqrt[3]{a^{2}}\sqrt[3]{b}}{\left(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}\right)^{2}} =\)
\(= \dfrac{\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b}\left(\sqrt[3]{b} - \sqrt[3]{a}\right)}{\left(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}\right)^{2}} = -\dfrac{\sqrt[3]{ab}\left(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}\right)}{\left(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}\right)^{2}} =\)
\(= -\dfrac{\sqrt[3]{ab}}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}}\)

Здесь мы свернули знаменатель второй дроби по формуле квадрата разности, а в числителе вынесли общий множитель за скобки, то есть:

\(\sqrt[3]{a^{2}} - 2\sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^{2}} = \left(\sqrt[3]{a}\right)^{2} - 2\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b} + \left(\sqrt[3]{b}\right)^{2} = \left(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}\right)^{2}\)

Таким образом, мы имеем:

\(\dfrac{\sqrt[3]{a^{2}} - \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^{2}}}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} - \dfrac{\sqrt[3]{ab}}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} = \dfrac{\sqrt[3]{a^{2}} - \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^{2}} - \sqrt[3]{ab}}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} =\)
\(= \dfrac{\left(\sqrt[3]{a}\right)^{2} - 2\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b} + \left(\sqrt[3]{b}\right)^{2}}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} = \dfrac{\left(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}\right)^{2}}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} = \sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}\)

в) Разделим полученный результат на вторую скобку:
\(\dfrac{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}}{\left(\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b}\right)}\)

Числитель данной дроби можно представить в следующем виде:

\(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b} = \left(\sqrt[6]{a}\right)^{2} - \left(\sqrt[6]{b}\right)^{2}\)

Воспользовавшись формулой разности квадратов, разложим полученное выражение на множители:

\(\left(\sqrt[6]{a}\right)^{2} - \left(\sqrt[6]{b}\right)^{2} = \left(\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b}\right)\left(\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}\right)\)

Подставим это в нашу дробь и получим:

\(\dfrac{\left(\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b}\right)\left(\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}\right)}{\left(\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b}\right)} = \left(\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}\right)\)

Ответ: \(\left(\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}\right)\)