Страница 42 номер 86, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением
Упростить: 1) \((a^{-3} + b^{-3}) \cdot (a^{-2} - b^{-2})^{-1} \cdot (a^{-2} - a^{-1}b^{-1} + b^{-2})^{-1}\); 2) \((a^{-2}b - ab^{-2}) \cdot (a^{-2} + a^{-1}b^{-1} + b^{-2})^{-1}\).
1) \((a^{-3} + b^{-3})(a^{-2} - b^{-2})^{-1}(a^{-2} - a^{-1} \cdot b^{-1} + b^{-2})^{-1}\)
Чтобы упростить данное выражение, необходимо избавиться от отрицательных показателей степеней, а также привести к общему знаменателю получившиеся при этом дроби:
а) \(a^{-3} + b^{-3} = \frac{1}{a^{3}} + \frac{1}{b^{3}} = \frac{a^{3} + b^{3}}{a^{3}b^{3}}\)
б) \((a^{-2} - b^{-2})^{-1} = \left(\frac{1}{a^{2}} - \frac{1}{b^{2}}\right)^{-1} = \left(\frac{b^{2} - a^{2}}{a^{2}b^{2}}\right)^{-1} = \frac{a^{2}b^{2}}{b^{2} - a^{2}}\)
в)
\(\left(a^{-2} - a^{-1}b^{-1} + b^{-2}\right)^{-1} = \left(\dfrac{1}{a^{2}} - \dfrac{1}{ab} + \dfrac{1}{b^{2}}\right)^{-1} =\)
\(= \left(\dfrac{b^{2} - ab + a^{2}}{a^{2}b^{2}}\right)^{-1} = \dfrac{a^{2}b^{2}}{b^{2} - ab + a^{2}}\)
Перемножим между собой получившиеся у нас дробные выражения:
\(\dfrac{(b^{3} + a^{3})a^{2}b^{2}a^{2}b^{2}}{a^{3}b^{3}(b^{2} - a^{2})(b^{2} - ab + a^{2})} = \dfrac{(b^{3} + a^{3})a^{4}b^{4}}{a^{3}b^{3}(b - a)(b + a)(b^{2} - ab + a^{2})} =\)
\(= \dfrac{(b^{3} + a^{3})a^{4}b^{4}}{a^{3}b^{3}(b - a)(b^{3} + a^{3})} = \dfrac{ab}{b - a}\)
В данном случае мы разложили \((b^{2} - a^{2})\) на множители по формуле разности квадратов: \(b^{2} - a^{2} = (b - a)(b + a)\)
Произведение \((b + a)(b^{2} - ab + a^{2})\) представляет собой формулу суммы кубов: \((b + a)(b^{2} - ab + a^{2}) = b^{3} + a^{3}\)
Ответ: \(\frac{ab}{b - a}\)
2) \((a^{-2}b - ab^{-2})(a^{-2} + a^{-1} \cdot b^{-1} + b^{-2})^{-1}\)
Чтобы упростить данное выражение, необходимо избавиться от отрицательных показателей степеней, а также привести к общему знаменателю получившиеся при этом дроби:
а) \(a^{-2}b - ab^{-2} = \frac{b}{a^{2}} - \frac{a}{b^{2}} = \frac{b^{3} - a^{3}}{a^{2}b^{2}}\)
б) \((a^{-2} + a^{-1} \cdot b^{-1} + b^{-2})^{-1} =\)
\(= \left(\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{ab} + \frac{1}{b^{2}}\right)^{-1} = \left(\frac{b^{2} + ab + a^{2}}{a^{2}b^{2}}\right)^{-1} = \frac{a^{2}b^{2}}{b^{2} + a^{2} + ab}\)
Перемножим между собой получившиеся у нас дробные выражения:
\(\dfrac{(b^{3} - a^{3})a^{2}b^{2}}{a^{2}b^{2}(b^{2} + ab + a^{2})} = \dfrac{(b - a)(b^{2} + ab + a^{2})}{(b^{2} + ab + a^{2})} = b - a\)
Здесь мы \((b^{3} - a^{3})\) разложили на множители по формуле разности кубов: \((b - a)(b^{2} + ab + a^{2})\)
Ответ: \(b - a\)
