Вопросы после параграфа §8 на странице 46, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Высоцкого часть 1

Когда в наборе есть выбросы — одно или несколько значений, которые намного больше или намного меньше всех остальных. Например, пятеро сотрудников фирмы получают по 40 тыс. р. в месяц, а директор — 400 тыс. р. Средняя зарплата: \[\frac{5 \cdot 40 + 400}{6} = \frac{600}{6} = 100 \ (\text{тыс. р.}).\]

Она в \(100 : 40 = 2{,}5\) раза больше зарплаты каждого из пятерых сотрудников, то есть зарплату большинства не описывает. Медиана этого набора — 40 тыс. р. — описывает её гораздо лучше.

Ответ: когда в наборе есть выбросы; например, зарплаты 40, 40, 40, 40, 40 и 400 тыс. р.: среднее арифметическое 100 тыс. р., а пятеро из шести получают по 40 тыс. р.

Медианой числового набора называют такое число \(m\), что хотя бы половина чисел набора не больше числа \(m\) и хотя бы половина чисел набора не меньше числа \(m\). Например, у набора 2, 5, 9 медиана — число 5: не больше 5 два числа из трёх (2 и 5) и не меньше 5 тоже два числа (5 и 9). Чтобы найти медиану, набор упорядочивают по возрастанию и берут число, стоящее посередине, а при чётном количестве чисел обычно берут среднее арифметическое двух чисел, стоящих посередине.

Ответ: медиана — такое число \(m\), что хотя бы половина чисел набора не больше \(m\) и хотя бы половина не меньше \(m\).

Чисел 19 — нечётное количество, поэтому медиана — число с номером \(\frac{19 + 1}{2} = 10\): перед ним 9 чисел и после него 9 чисел.

Ответ: десятым.

Чисел 24 — чётное количество, поэтому медиана заключена между числами с номерами \(\frac{24}{2} = 12\) и \(12 + 1 = 13\): перед двенадцатым числом 11 чисел и после тринадцатого — тоже 11.

Ответ: между двенадцатым и тринадцатым числами.

Выбросом называют значение, которое намного больше или намного меньше всех остальных значений набора. Например, среди чисел жителей городов-миллионеров России в 2021 г. выбросы — население Москвы и Санкт-Петербурга (\(12\,655\) и 5384 тыс. чел.): оно в несколько раз больше, чем в любом из остальных 13 городов (не больше 1620 тыс. чел.).

Ответ: выброс — значение, намного большее или намного меньшее остальных значений набора.

Главное достоинство медианы — устойчивость относительно выбросов: отдельные сильно выделяющиеся значения почти не меняют её. Например, у набора 1, 2, 3, 4, 5 медиана и среднее арифметическое равны 3. Если вместо 5 записать 500, медиана останется равной 3, а среднее арифметическое станет равным \[\frac{1 + 2 + 3 + 4 + 500}{5} = \frac{510}{5} = 102.\]

Ответ: устойчивость относительно выбросов: выбросы почти не влияют на медиану.