Страница 27 номер 3.12, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Противоположные векторы имеют равные модули и противоположные направления, поэтому вектор, противоположный данному, лежит на той же прямой, что и данный, или на прямой, ей параллельной.

1) Через каждую вершину параллелепипеда проходит единственная прямая, параллельная \(BB_1\) или совпадающая с ней, и на этой прямой лежат ровно две вершины — концы одного из боковых рёбер \(AA_1\), \(BB_1\), \(CC_1\), \(DD_1\). Боковые грани — параллелограммы, поэтому \(\overrightarrow{B_1B} = \overrightarrow{A_1A} = \overrightarrow{C_1C} = \overrightarrow{D_1D}\). Значит, вектору \(\overrightarrow{B_1B}\) противоположны векторы \(\overrightarrow{BB_1}\), \(\overrightarrow{AA_1}\), \(\overrightarrow{CC_1}\) и \(\overrightarrow{DD_1}\).

2) Отрезок \(CD_1\) — диагональ грани \(CC_1D_1D\). Каждая вершина параллелепипеда принадлежит одной из параллельных граней \(CC_1D_1D\) и \(AA_1B_1B\), а прямая, параллельная \(CD_1\) и проходящая через вершину одной из этих граней, лежит в плоскости этой грани. Поэтому концы искомого вектора — вершины одной из этих граней. Грани \(ABCD\) и \(AA_1D_1D\) — параллелограммы, поэтому по правилу треугольника \(\overrightarrow{CD_1} = \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DD_1} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{BA_1}\). Остальные стороны и диагонали граней \(CC_1D_1D\) и \(AA_1B_1B\) пересекают прямую \(CD_1\) или параллельную ей прямую \(BA_1\), поэтому прямой \(CD_1\) не параллельны. Значит, вектору \(\overrightarrow{CD_1}\) противоположны векторы \(\overrightarrow{D_1C}\) и \(\overrightarrow{A_1B}\).

Ответ: 1) \(\overrightarrow{BB_1}\), \(\overrightarrow{AA_1}\), \(\overrightarrow{CC_1}\), \(\overrightarrow{DD_1}\); 2) \(\overrightarrow{D_1C}\), \(\overrightarrow{A_1B}\).