Страница 27 номер 3.11, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Дан параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) (рис. 3.15). Укажите все векторы, началом и концом каждого из которых являются вершины параллелепипеда, противоположные вектору: 1) \(\overrightarrow{AD}\); 2) \(\overrightarrow{B_1D}\); 3) \(\overrightarrow{AC}\).
Противоположные векторы имеют равные модули и противоположные направления, поэтому вектор, противоположный данному, лежит на той же прямой, что и данный, или на прямой, ей параллельной.
1) Через каждую вершину параллелепипеда проходит единственная прямая, параллельная \(AD\) или совпадающая с ней, и на этой прямой лежат ровно две вершины — концы одного из рёбер \(AD\), \(BC\), \(A_1D_1\), \(B_1C_1\). Грани \(ABCD\), \(AA_1D_1D\) и \(A_1B_1C_1D_1\) — параллелограммы, поэтому \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{A_1D_1} = \overrightarrow{B_1C_1}\). Значит, вектору \(\overrightarrow{AD}\) противоположны векторы \(\overrightarrow{DA}\), \(\overrightarrow{CB}\), \(\overrightarrow{D_1A_1}\) и \(\overrightarrow{C_1B_1}\).
2) Отрезок \(B_1D\) — диагональ параллелепипеда. Каждая грань параллелепипеда содержит ровно одну из точек \(B_1\) и \(D\), поэтому прямая \(B_1D\) пересекает плоскость каждой грани и не параллельна ни одному ребру и ни одной диагонали грани. Остальные три диагонали параллелепипеда пересекают отрезок \(B_1D\), так как диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке. Значит, из отрезков с концами в вершинах параллелепипеда на прямой \(B_1D\) и на прямых, ей параллельных, лежит только отрезок \(B_1D\), и вектору \(\overrightarrow{B_1D}\) противоположен только вектор \(\overrightarrow{DB_1}\).
3) Отрезок \(AC\) — диагональ основания \(ABCD\). Прямая, параллельная \(AC\) и проходящая через вершину одного из оснований, лежит в плоскости этого основания (плоскости оснований параллельны), поэтому концы искомого вектора — вершины одного основания. Четырёхугольник \(AA_1C_1C\) — параллелограмм (его стороны \(AA_1\) и \(CC_1\) — боковые рёбра, они параллельны и равны), поэтому \(\overrightarrow{A_1C_1} = \overrightarrow{AC}\). Остальные стороны и диагонали оснований пересекают прямую \(AC\) или параллельную ей прямую \(A_1C_1\), поэтому прямой \(AC\) не параллельны. Значит, вектору \(\overrightarrow{AC}\) противоположны векторы \(\overrightarrow{CA}\) и \(\overrightarrow{C_1A_1}\).
Ответ: 1) \(\overrightarrow{DA}\), \(\overrightarrow{CB}\), \(\overrightarrow{D_1A_1}\), \(\overrightarrow{C_1B_1}\); 2) \(\overrightarrow{DB_1}\); 3) \(\overrightarrow{CA}\), \(\overrightarrow{C_1A_1}\).
