Страница 124 номер 10.53, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Окружность с центром на гипотенузе прямоугольного треугольника касается большего катета и проходит через вершину противолежащего острого угла. Найдите радиус окружности, если катеты равны 3 см и 4 см.
Дано:
\(\triangle ABC\), \(\angle C = 90^\circ\)
\(AC = 3\) см
\(BC = 4\) см
\(O \in AB\) — центр окружности, которая касается катета \(BC\) и проходит через вершину \(A\)
Найти: \(r\) — радиус окружности.
Решение:
Больший катет треугольника — \(BC\), против него лежит острый угол \(A\), поэтому окружность касается катета \(BC\) и проходит через вершину \(A\). Пусть \(T\) — точка касания. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной: \(OT \perp BC\).
По теореме Пифагора \(AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{9 + 16} = 5\) (см). Точка \(O\) лежит на гипотенузе и \(OA = OT = r\), поэтому \(OB = 5 - r\). Треугольники \(BOT\) и \(BAC\) подобны по двум углам (угол \(B\) общий, \(\angle BTO = \angle BCA = 90^\circ\)), поэтому \(\frac{OT}{AC} = \frac{OB}{AB}\), то есть \[\begin{aligned} \frac{r}{3} &= \frac{5 - r}{5}; \qquad | \cdot 15 \\ 5r &= 15 - 3r; \\ 8r &= 15; \qquad | : 8 \\ r &= \frac{15}{8}. \end{aligned}\]
Ответ: \(\frac{15}{8}\) см.
Окружность с центром на гипотенузе прямоугольного треугольника касается большего катета и проходит через вершину противолежащего острого угла. Найдите радиус окружности, если катеты равны 3 см и 4 см.
Дано:
\(\triangle ABC\), \(\angle C = 90^\circ\)
\(AC = 3\) см
\(BC = 4\) см
\(O \in AB\) — центр окружности, которая касается катета \(BC\) и проходит через вершину \(A\)
Найти: \(r\) — радиус окружности.
Решение:
Больший катет треугольника — \(BC\), против него лежит острый угол \(A\), поэтому окружность касается катета \(BC\) и проходит через вершину \(A\). Пусть \(T\) — точка касания. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной: \(OT \perp BC\); кроме того, \(AC \perp BC\), поэтому \(OT \parallel AC\).
По теореме Пифагора \(AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{9 + 16} = 5\) (см). Точка \(O\) лежит на гипотенузе и \(OA = OT = r\), поэтому \(OB = 5 - r\). Треугольники \(BOT\) и \(BAC\) подобны по двум углам (угол \(B\) общий, \(\angle BTO = \angle BCA = 90^\circ\)), поэтому \(\frac{OT}{AC} = \frac{OB}{AB}\), то есть \[\begin{aligned} \frac{r}{3} &= \frac{5 - r}{5}; \qquad | \cdot 15 \\ 5r &= 15 - 3r; \\ 8r &= 15; \qquad | : 8 \\ r &= \frac{15}{8}. \end{aligned}\]
Ответ: \(\frac{15}{8}\) см.
