Страница 124 номер 10.52, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Основанием пирамиды \(SABCD\) является трапеция \(ABCD\) (\(BC \parallel AD\)), в которой \(AB = BC = CD = 1\) см, \(AD = 2\) см. Ребро \(SD\) пирамиды перпендикулярно плоскости основания и равно 4 см. Точка \(M\) — середина ребра \(AS\). Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку \(M\) и перпендикулярной прямой \(AC\). Найдите площадь этого сечения.
Дано:
\(SABCD\) — пирамида
\(ABCD\) — трапеция, \(BC \parallel AD\)
\(AB = BC = CD = 1\) см
\(AD = 2\) см
\(SD \perp ABC\)
\(SD = 4\) см
\(M\) — середина ребра \(AS\)
сечение проходит через точку \(M\) перпендикулярно прямой \(AC\)
Найти: площадь сечения.
Решение:
Пусть \(K\) — середина ребра \(AD\); тогда \(AK = KD = 1\) см. Отрезки \(BC\) и \(AK\) параллельны и равны, поэтому \(ABCK\) — параллелограмм, а так как \(AB = BC\), то это ромб; диагонали ромба перпендикулярны: \(BK \perp AC\). Отрезки \(BC\) и \(KD\) тоже параллельны и равны, поэтому \(KBCD\) — параллелограмм и \(BK = CD = 1\) см.
Отрезок \(MK\) — средняя линия треугольника \(ASD\), поэтому \(MK \parallel SD\) и \(MK = \frac{1}{2}SD = 2\) см.
Поскольку \(SD \perp ABC\) и \(MK \parallel SD\), то \(MK \perp ABC\): если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна этой плоскости. Прямые \(AC\) и \(BK\) лежат в плоскости \(ABC\), поэтому \(MK \perp AC\) и \(MK \perp BK\). Прямая \(AC\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(BK\) и \(MK\) плоскости \(MKB\), следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(AC \perp MKB\). Плоскость \(MKB\) пересекает грани \(SAD\), \(ABCD\) и \(SAB\) по отрезкам \(MK\), \(KB\) и \(BM\), поэтому сечение — треугольник \(MKB\).
Треугольник \(MKB\) прямоугольный (\(MK \perp BK\)), его площадь равна \(\frac{1}{2} \cdot BK \cdot MK = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 = 1\) (см\(^2\)).
Ответ: сечение — прямоугольный треугольник \(MKB\), где \(K\) — середина ребра \(AD\); его площадь равна 1 см\(^2\).
Основанием пирамиды \(SABCD\) является трапеция \(ABCD\) (\(BC \parallel AD\)), в которой \(AB = BC = CD = 1\) см, \(AD = 2\) см. Ребро \(SD\) пирамиды перпендикулярно плоскости основания и равно 4 см. Точка \(M\) — середина ребра \(AS\). Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку \(M\) и перпендикулярной прямой \(AC\). Найдите площадь этого сечения.
Дано:
\(SABCD\) — пирамида
\(ABCD\) — трапеция, \(BC \parallel AD\)
\(AB = BC = CD = 1\) см
\(AD = 2\) см
\(SD \perp ABC\)
\(SD = 4\) см
\(M\) — середина ребра \(AS\)
сечение проходит через точку \(M\) перпендикулярно прямой \(AC\)
Найти: площадь сечения.
Решение:
Пусть \(K\) — середина ребра \(AD\); тогда \(AK = KD = 1\) см. Отрезки \(BC\) и \(AK\) параллельны и равны, поэтому \(ABCK\) — параллелограмм, а так как \(AB = BC\), то это ромб; диагонали ромба перпендикулярны: \(BK \perp AC\). Отрезки \(BC\) и \(KD\) тоже параллельны и равны, поэтому \(KBCD\) — параллелограмм и \(BK = CD = 1\) см.
Отрезок \(MK\) — средняя линия треугольника \(ASD\), поэтому \(MK \parallel SD\) и \(MK = \frac{1}{2}SD = 2\) см. Докажем, что треугольник \(MKB\) — искомое сечение.
Поскольку \(SD \perp ABC\) и \(MK \parallel SD\), то \(MK \perp ABC\): если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна этой плоскости. Прямые \(AC\) и \(BK\) лежат в плоскости \(ABC\), поэтому \(MK \perp AC\) и \(MK \perp BK\). Прямая \(AC\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(BK\) и \(MK\) плоскости \(MKB\), следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(AC \perp MKB\). Плоскость \(MKB\) пересекает грани \(SAD\), \(ABCD\) и \(SAB\) по отрезкам \(MK\), \(KB\) и \(BM\), поэтому сечение — треугольник \(MKB\).
Треугольник \(MKB\) прямоугольный (\(MK \perp BK\)), его площадь равна \(\frac{1}{2} \cdot BK \cdot MK = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 = 1\) (см\(^2\)).
Ответ: сечение — прямоугольный треугольник \(MKB\), где \(K\) — середина ребра \(AD\); его площадь равна 1 см\(^2\).
