Страница 227 номер 774, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением
Доказать, что ни при каких натуральных числах \(m\) и \(n\) не может быть верным равенство: 1) \(m(m + 1) = n(n + 2)\); 2) \(m^2 + (m + 1)^2 = n^4 + (n + 1)^4\).
1) \(m(m + 1) = n(n + 2)\)
Возможны два случая:
а) \(m \leqslant n\)
Тогда левая часть меньше либо равна \(n(n + 1)\);
б) \(m \geqslant n + 1\)
Тогда левая часть больше либо равна \((n + 1)(n + 2)\).
В обоих случаях равенство не выполняется.
2) \(m^{2} + (m + 1)^{2} = n^{4} + (n + 1)^{4}\)
\(m^{2} + (m + 1)^{2} = 2m^{2} + 2m + 1 = 2m(m + 1) + 1,\)
\(2m(m + 1) + 1 = n^{4} + (n + 1)^{4},\)
\(m(m + 1) = \dfrac{n^{4} + (n + 1)^{4} - 1}{2},\)
\(m(m + 1) = n(n + 1)\left(n(n + 1) + 2\right).\)
Пусть \(t = n(n + 1)\) – натуральное число, тогда \(m(m + 1) = t(t + 2)\).
Возможны два случая:
а) \(m \leqslant t\)
Тогда левая часть меньше либо равна \(t(t + 1)\);
б) \(m \geqslant t + 1\)
Тогда левая часть больше либо равна \((t + 1)(t + 2)\).
В обоих случаях равенство не выполняется.
