Страница 226 номер 763, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением
Доказать, что: 1) число \(10^{70} - 361\) делится на 27; 2) число \(10^{80} - 298\) делится на 99; 3) число \(91^{50} - 19^{75}\) делится на 18; 4) число \((75 \cdot 94)^{26} + (39 \cdot 56)^{25}\) делится на 19.
1) \(10^{70} - 361 = \left(10^{70} - 1\right) - 9 \cdot 40\)
Уменьшаемое в скобках представляет собой число, состоящее из 70-ти цифр \(9\).
Оба числа делятся на \(9\). В результате деления получаем уменьшаемое, которое состоит из 70-ти цифр \(1\), и вычитаемое, равное \(40\).
\(111\ldots1 - 40 = 111\ldots1071\) – итоговое число состоит из 67-и цифр \(1\) и \(071\).
Сумма цифр: \(67 \cdot 1 + 0 + 7 + 1 = 75\).
Сумма цифр делится на \(3\).
Значит исходное число равно \(9 \cdot 111\ldots1071\), где второй множитель делится на \(3\). Следовательно, оно делится на \(27\);
2) \(10^{80} - 298 = \left(10^{80} - 1\right) - 9 \cdot 33\)
Уменьшаемое в скобках представляет собой число, состоящее из 80-ти цифр \(9\).
Оба числа делятся на \(9\). В результате деления получаем уменьшаемое, которое состоит из 80-ти цифр \(1\), и вычитаемое, равное \(33\).
Оба числа делятся на \(11\), т.к. выполняется признак делимости – сумма цифр, стоящих на чётных местах, равна сумме цифр стоящих на нечётных местах.
Таким образом исходное число делится на \(9\) и на \(11\). Значит оно делится на \(99\);
3) \(91^{50} - 19^{75} = (5 \cdot 18 + 1)^{50} - (18 + 1)^{75}\)
И уменьшаемое, и вычитаемое делятся на \(18\) с остатком \(1\), т.к. произведение чисел, дающих при делении на \(18\) остаток \(1\), дает тот же остаток: \({(18m + 1)(18k + 1) = 18(18mk + m + k) + 1}\).
\(1 - 1 = 0.\)
Исходное число делится на \(18\);
4) \((75 \cdot 94)^{26} + (39 \cdot 56)^{25} = \left((4 \cdot 19 - 1) \cdot (5 \cdot 19 - 1)\right)^{26} +\)
\(+\left((2 \cdot 19 + 1) \cdot (3 \cdot 19 - 1)\right)^{25},\)
При делении на \(19\) первого слагаемого, остаток равен \(1\), а второго – \(-1\).
\(1 + (-1) = 0.\)
Исходное число делится на \(19\).
