Страница 226 номер 770, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением
Доказать, что если \(m\), \(n\), \(k\) — натуральные числа и число \(m + n + k\) делится на 6, то число \(m^3 + n^3 + k^3\) также делится на 6.
\(m^{3} - m = m\left(m^{2} - 1\right) = (m - 1) \cdot m \cdot (m + 1)\) – делится на \(6\), т.к. делится и на \(2\) и на \(3\) (из трёх последовательных чисел одно делится на \(3\) и хотя бы одно чётное).
Значит остатки от деления \(m^{3}\) и \(m\) на \(6\) равны.
Рассуждая аналогично получаем, что \(n^{3} - n\) и \(k^{3} - k\) также делятся на \(6\). А значит остатки от деления \(n^{3}\) и \(n\), \(k^{3}\) и \(k\) на \(6\) равны.
Тогда остатки от деления \({m^{3} + n^{3} + k^{3}}\) и \({m + n + k}\) на \(6\) равны, а \({m + n + k}\) делится на \(6\) по условию.
Следовательно \(m^{3} + n^{3} + k^{3}\) также делится на \(6\).
