9класс
Страница 227 номер 771, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением
Задачи для внеклассной работы. Страница 227. Номер 771
Задание / условие:
Доказать, что если натуральные числа \(m\) и \(n\) не делятся на 5, то число \(m^4 - n^4\) делится на 5.
Решение:
Если \(m\) не делится на \(5\), то
\(m = 5k + r\), \(k\) – целое неотрицательное число, \(r = 1, 2, 3, 4\);
\(m^{4} = (5k + r)^{4} = (5k)^{4} + 4(5k)^{3}r + 6(5k)^{2}r^{2} + 4 \cdot 5kr^{3} + r^{4} =\)
\(= 5p + r^{4} = 5q + 1\), \(p, q\) – целые неотрицательные числа. Т.к. любое значение \(r\) в \(4\)-й степени при делении на \(5\) даёт в остатке \(1\) (\(1^{4} = 1\), \(2^{4} = 16\), \(3^{4} = 81\), \(4^{4} = 256\)).
Рассуждая аналогично получаем, что \(n^{4} = 5z + 1\), \(z\) – целое неотрицательное число.
Следовательно \(m^{4} - n^{4} = 5q - 5z\) – делится на \(5\).
Решение подготовила Екатерина Копова, учитель математики первой категории
