Страница 79 номер 7.27, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Прямоугольник \(MM_1N_1N\) — сечение цилиндра, параллельное его оси. На окружностях оснований цилиндра по разные стороны от данного сечения выбраны точки \(A\) и \(B\) (рис. 7.21). Постройте точку пересечения прямой \(AB\) с плоскостью \(MM_1N_1\).
Как видно на рисунке, точка \(A\) лежит на окружности верхнего основания, точка \(B\) — на окружности нижнего, а отрезок \(MN\) — в плоскости нижнего основания.
Проведём образующую \(AA_1\) цилиндра (точка \(A_1\) лежит на окружности нижнего основания). Любые две образующие цилиндра параллельны, поэтому \(AA_1 \parallel MM_1\).
Прямая \(AA_1\) параллельна прямой \(MM_1\), лежащей в плоскости \(MM_1N_1\), а точка \(A\) этой плоскости не принадлежит, поэтому прямая \(AA_1\) параллельна плоскости \(MM_1N_1\) и не имеет с ней общих точек. Значит, точка \(A_1\) лежит по ту же сторону от плоскости \(MM_1N_1\), что и точка \(A\), то есть по другую сторону, чем точка \(B\). Тогда хорда \(A_1B\) нижнего основания пересекает плоскость \(MM_1N_1\), причём в точке прямой \(MN\): по этой прямой плоскость нижнего основания пересекает плоскость \(MM_1N_1\) (обе плоскости содержат точки \(M\) и \(N\)). Обозначим эту точку \(K\): \(K\) — точка пересечения хорд \(A_1B\) и \(MN\).
Через точку \(K\) проведём прямую \(KK_1\), параллельную \(MM_1\) (\(K_1\) — точка хорды \(M_1N_1\)). Прямая \(KK_1\) проходит через точку \(K\) плоскости \(MM_1N_1\) параллельно прямой \(MM_1\) этой плоскости, поэтому лежит в плоскости \(MM_1N_1\).
Прямые \(AA_1\) и \(KK_1\) параллельны (каждая из них параллельна \(MM_1\)), поэтому через них проходит плоскость. Ей принадлежат точки \(A_1\) и \(K\), а значит, и точка \(B\) прямой \(A_1K\); следовательно, прямая \(AB\) лежит в плоскости \(AA_1K\). Плоскости \(AA_1K\) и \(MM_1N_1\) различны (точка \(A\) не лежит в плоскости \(MM_1N_1\)) и обе содержат прямую \(KK_1\), поэтому пересекаются по этой прямой. Точки \(A\) и \(B\) лежат по разные стороны от плоскости \(MM_1N_1\), значит, отрезок \(AB\) пересекает её в некоторой точке \(X\). Точка \(X\) принадлежит обеим плоскостям, то есть лежит на прямой \(KK_1\). Следовательно, \(X\) — точка пересечения прямых \(AB\) и \(KK_1\).
Ответ: искомая точка — точка \(X\) пересечения прямых \(AB\) и \(KK_1\), где \(AA_1\) — образующая цилиндра, \(K\) — точка пересечения хорд \(A_1B\) и \(MN\), \(KK_1 \parallel MM_1\).
