Страница 85 номер 8.7, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
высота цилиндра \(h = 6\) см
\(MNN_1M_1\) — осевое сечение цилиндра
угол между прямой \(MN_1\) и плоскостью основания цилиндра равен \(60^\circ\)
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — правильная четырёхугольная призма, вписанная в цилиндр

Найти: \(S_{\text{бок}}\) призмы.

Решение: Осевое сечение \(MNN_1M_1\) — прямоугольник, стороны \(MN\) и \(M_1N_1\) которого — диаметры оснований цилиндра, а \(MM_1\) и \(NN_1\) — образующие. Любая образующая цилиндра является его высотой, поэтому \(NN_1 = h = 6\) см. Образующая \(NN_1\) перпендикулярна плоскости основания, поэтому прямая \(MN\) — проекция прямой \(MN_1\) на плоскость нижнего основания, и угол \(N_1MN\) — угол между прямой \(MN_1\) и плоскостью основания: \(\angle N_1MN = 60^\circ\).

Из треугольника \(MNN_1\) (\(\angle MNN_1 = 90^\circ\)): \(MN = \frac{NN_1}{\operatorname{tg} 60^\circ} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}\) (см). Значит, радиус основания цилиндра \(r = \frac{MN}{2} = \sqrt{3}\) см.

Призма \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) вписана в цилиндр, поэтому её основание — квадрат \(ABCD\) — вписано в окружность нижнего основания цилиндра с центром \(O\) и радиусом \(OA = r\), а боковые рёбра призмы являются образующими цилиндра: \(AA_1 = h = 6\) см.

Сторона квадрата, вписанного в окружность радиуса \(r\), равна \(r\sqrt{2}\), поэтому \(AB = \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{6}\) (см). Боковые грани правильной призмы — равные прямоугольники со сторонами \(AB\) и \(AA_1\), поэтому \(S_{\text{бок}} = 4 \cdot AB \cdot AA_1 = 4 \cdot \sqrt{6} \cdot 6 = 24\sqrt{6}\) (см\(^2\)).

Ответ: \(24\sqrt{6}\) см\(^2\).