Страница 80 номер 7.36, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(ABC\) — треугольник, \(AB = BC\)
\(BH\) — высота, \(BH = h\)
\(\angle ABC = \alpha\)

Найти: \(r\) — радиус вписанной окружности.

Решение: Центр \(O\) окружности, вписанной в треугольник, — точка пересечения его биссектрис. В равнобедренном треугольнике \(ABC\) высота \(BH\), проведённая к основанию, является биссектрисой и медианой, поэтому центр \(O\) лежит на \(BH\) и \(\angle ABH = \frac{\alpha}{2}\). Расстояние от \(O\) до прямой \(AC\) равно \(r\), а \(OH \perp AC\), поэтому \(OH = r\).

Из треугольника \(ABH\) (\(\angle AHB = 90^\circ\)): \(AH = BH \operatorname{tg} \angle ABH = h \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}\) и \(\angle BAH = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}\). Луч \(AO\) — биссектриса угла \(BAC\), поэтому \(\angle OAH = \frac{1}{2}\left(90^\circ - \frac{\alpha}{2}\right) = 45^\circ - \frac{\alpha}{4}\). Из треугольника \(AOH\) (\(\angle AHO = 90^\circ\)): \(r = OH = AH \operatorname{tg} \angle OAH = h \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} \operatorname{tg}\left(45^\circ - \frac{\alpha}{4}\right)\).

Ответ: \(h \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} \operatorname{tg}\left(45^\circ - \frac{\alpha}{4}\right)\).