Страница 77 номер 7.13, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(O\), \(O_1\) — центры нижнего и верхнего оснований цилиндра
\(AB\) — хорда нижнего основания, \(\angle AOB = \beta\)
\(K\) — середина хорды \(AB\), \(O_1K = m\)
угол между прямой \(O_1K\) и плоскостью основания равен \(\alpha\)

Найти: \(S_{\text{бок}}\).

Решение: Хорда \(AB\) не проходит через центр \(O\), то есть \(\beta < 180^\circ\): для диаметра середина \(K\) совпала бы с центром, отрезок \(O_1K\) — с отрезком оси, и радиус основания условием не определялся бы. Значит, \(AOB\) — равнобедренный треугольник (\(OA = OB\) — радиусы основания), и его медиана \(OK\) является высотой и биссектрисой: \(OK \perp AB\), \(\angle AOK = \frac{\beta}{2}\).

Отрезок оси \(OO_1\) перпендикулярен плоскости основания, поэтому прямая \(OK\) — проекция прямой \(O_1K\) на эту плоскость, и угол \(O_1KO\) — угол между прямой \(O_1K\) и плоскостью основания: \(\angle O_1KO = \alpha\).

Из треугольника \(O_1OK\) (\(\angle O_1OK = 90^\circ\)): \(OO_1 = O_1K \sin\alpha = m\sin\alpha\), \(OK = O_1K \cos\alpha = m\cos\alpha\).

Из треугольника \(AOK\) (\(\angle AKO = 90^\circ\)): \(OA = \frac{OK}{\cos\frac{\beta}{2}} = \frac{m\cos\alpha}{\cos\frac{\beta}{2}}\).

Отрезок оси между основаниями равен высоте цилиндра, поэтому \(h = OO_1 = m\sin\alpha\); радиус основания \(r = OA\). По формуле площади боковой поверхности цилиндра: \[\begin{aligned} &S_{\text{бок}} = 2\pi rh = 2\pi \cdot \frac{m\cos\alpha}{\cos\frac{\beta}{2}} \cdot m\sin\alpha = {} \\ &= \frac{2\pi m^2\sin\alpha\cos\alpha}{\cos\frac{\beta}{2}} = \frac{\pi m^2\sin 2\alpha}{\cos\frac{\beta}{2}}. \end{aligned}\]

Ответ: \(\frac{\pi m^2\sin 2\alpha}{\cos\frac{\beta}{2}}\).