Страница 78 номер 7.19, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(O\), \(O_1\) — центры нижнего и верхнего оснований цилиндра, \(r = 9\) см
\(M\) — середина отрезка \(OO_1\)
луч \(MT\) пересекает плоскость нижнего основания в точке \(T\), \(OT = 12\) см
луч \(MT\) пересекает образующую \(AA_1\) в точке \(K\), удалённой от плоскости нижнего основания на 2 см

Найти: \(h\).

Решение: Образующая \(AA_1\) и отрезок оси \(OO_1\) перпендикулярны плоскости нижнего основания, поэтому \(KA \parallel MO\) и \(KA = 2\) см — расстояние от точки \(K\) до этой плоскости. Через параллельные прямые \(MO\) и \(KA\) проходит плоскость — плоскость осевого сечения цилиндра; она содержит точки \(M\) и \(K\), а значит, и прямую \(MK\) вместе с точкой \(T\). Поэтому точки \(O\), \(A\) и \(T\) лежат на одной прямой — линии пересечения этой плоскости с плоскостью нижнего основания.

Точка \(K\) лежит на отрезке \(MT\): точки \(M\) и \(K\) находятся над плоскостью нижнего основания, а точки луча \(MT\) за точкой \(T\) — под ней. В треугольнике \(MOT\) прямая \(KA\) проходит через точку \(K\) стороны \(MT\) параллельно стороне \(MO\), поэтому точка \(A\) лежит на стороне \(OT\), а треугольник \(TAK\) подобен треугольнику \(TOM\).

Точка \(A\) лежит на окружности основания, поэтому \(OA = r = 9\) см и \(AT = OT - OA = 12 - 9 = 3\) (см). Из подобия треугольников \(TAK\) и \(TOM\): \(\frac{OM}{AK} = \frac{OT}{AT}\), откуда \(OM = \frac{AK \cdot OT}{AT} = \frac{2 \cdot 12}{3} = 8\) (см).

Высота цилиндра равна отрезку оси между основаниями: \(h = OO_1 = 2OM = 16\) (см).

Ответ: 16 см.