Страница 78 номер 7.21, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(r\) — радиус основания цилиндра, \(h\) — его высота
развёртка боковой поверхности цилиндра — квадрат
\(ABB_1A_1\) — осевое сечение цилиндра

Найти: угол между диагоналями \(AB_1\) и \(BA_1\) осевого сечения.

Решение: Развёртка боковой поверхности цилиндра — прямоугольник со сторонами \(h\) и \(2\pi r\). По условию она квадрат, поэтому \(h = 2\pi r\).

Осевое сечение \(ABB_1A_1\) — прямоугольник, две стороны которого — диаметры оснований \(AB = A_1B_1 = 2r\), а две другие — образующие \(AA_1 = BB_1 = h = 2\pi r\). Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения \(M\) делятся пополам, поэтому \(MA = MB\). Центр \(O\) нижнего основания — середина диаметра \(AB\), и \(OM\) — средняя линия треугольника \(ABA_1\): \(OM \parallel AA_1\), \(OM = \frac{1}{2}AA_1 = \pi r\). Значит, \(OM \perp AB\), и медиана \(OM\) равнобедренного треугольника \(AMB\) является его биссектрисой: \(\angle AMB = 2\angle AMO\). Обозначим \(\angle AMB = \varphi\).

Из треугольника \(AOM\) (\(\angle AOM = 90^\circ\)): \(\operatorname{tg}\angle AMO = \frac{AO}{OM} = \frac{r}{\pi r} = \frac{1}{\pi}\), \(\angle AMO = \operatorname{arctg}\frac{1}{\pi}\), \(\varphi = 2\operatorname{arctg}\frac{1}{\pi}\).

Так как \(\frac{1}{\pi} < 1\), то \(\angle AMO < 45^\circ\) и \(\varphi < 90^\circ\). Значит, угол между диагоналями осевого сечения равен \(\varphi\).

Ответ: \(2\operatorname{arctg}\frac{1}{\pi}\).