Страница 86 номер 8.13, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
призма с основанием \(ABCD\)
\(ABCD\) — ромб, \(AB = 10\sqrt{2}\) см, \(\angle BAD = 45^\circ\)
высота призмы — \(4\) см
цилиндр вписан в призму

Найти: площадь осевого сечения цилиндра.

Решение: Цилиндр вписан в призму, значит, основания призмы описаны около оснований цилиндра. Пусть \(O\) и \(O_1\) — центры оснований цилиндра; окружность нижнего основания с центром \(O\) вписана в ромб \(ABCD\), и её радиус — радиус \(r\) основания цилиндра. Основания цилиндра лежат в плоскостях оснований призмы, поэтому высота цилиндра равна высоте призмы: \(h = 4\) см.

Осевое сечение цилиндра — прямоугольник, две стороны которого — диаметры оснований цилиндра, а две другие — образующие цилиндра. Поэтому стороны осевого сечения равны \(2r\) и \(h\).

Проведём высоту \(BH\) ромба.

Из треугольника \(ABH\) (\(\angle AHB = 90^\circ\)): \(BH = AB \sin 45^\circ = 10\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 10\) (см).

Окружность касается параллельных сторон \(AD\) и \(BC\) ромба. Радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны этим прямым, а через центр \(O\) в плоскости ромба проходит только одна прямая, перпендикулярная им; поэтому оба радиуса лежат на этой прямой, и отрезок между точками касания — диаметр, перпендикулярный \(AD\) и \(BC\). Значит, расстояние между прямыми \(AD\) и \(BC\), то есть высота ромба, равно \(2r\): \(2r = BH = 10\) см.

Площадь осевого сечения цилиндра равна \(2r \cdot h = 10 \cdot 4 = 40\) (см\(^2\)).

Ответ: 40 см\(^2\).