Страница 79 номер 7.29, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Параллельно оси цилиндра проведена плоскость, пересекающая основание цилиндра по хорде, которая видна из центра этого основания под углом \(\alpha\). Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если площадь образовавшегося сечения равна \(S\).
Дано:
цилиндр, \(O\) — центр нижнего основания
\(AA_1B_1B\) — сечение плоскостью, параллельной оси цилиндра
\(\angle AOB = \alpha\)
\(S_{AA_1B_1B} = S\)
Найти: \(S_{\text{бок}}\).
Решение: Пусть \(r\) и \(h\) — радиус основания и высота цилиндра, \(AB\) — хорда, по которой плоскость сечения пересекает нижнее основание. Образующие \(AA_1\) и \(BB_1\) параллельны оси цилиндра (образующие и ось перпендикулярны плоскости основания), а прямая, проходящая через точку плоскости параллельно прямой, параллельной этой плоскости, лежит в этой плоскости. Поэтому образующие \(AA_1\) и \(BB_1\) лежат в плоскости сечения, и сечение — прямоугольник \(AA_1B_1B\) со сторонами \(AB\) и \(AA_1 = h\), так как сечением цилиндра плоскостью, проходящей через две его образующие, является прямоугольник.
Плоскость сечения параллельна оси цилиндра и потому не проходит через точку \(O\) оси (иначе она содержала бы ось), значит, хорда \(AB\) не проходит через центр \(O\) и \(AOB\) — треугольник. Проведём высоту \(OK\) равнобедренного треугольника \(AOB\) (\(OA = OB = r\)); она является также медианой и биссектрисой, поэтому \(AB = 2AK\) и \(\angle AOK = \frac{\alpha}{2}\). Из треугольника \(AOK\) (\(\angle AKO = 90^\circ\)): \(AK = r \sin \frac{\alpha}{2}\), тогда \(AB = 2r \sin \frac{\alpha}{2}\).
Площадь сечения \(S = AB \cdot AA_1 = 2r \sin \frac{\alpha}{2} \cdot h\), откуда \(rh = \frac{S}{2\sin \frac{\alpha}{2}}\). Тогда \[S_{\text{бок}} = 2\pi rh = 2\pi \cdot \frac{S}{2\sin \frac{\alpha}{2}} = \frac{\pi S}{\sin \frac{\alpha}{2}}.\]
Ответ: \(\frac{\pi S}{\sin \frac{\alpha}{2}}\).
Параллельно оси цилиндра проведена плоскость, пересекающая основание цилиндра по хорде, которая видна из центра этого основания под углом \(\alpha\). Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если площадь образовавшегося сечения равна \(S\).
Дано:
цилиндр, \(O\) — центр нижнего основания
\(AA_1B_1B\) — сечение плоскостью, параллельной оси цилиндра
\(\angle AOB = \alpha\)
\(S_{AA_1B_1B} = S\)
Найти: \(S_{\text{бок}}\).
Решение: Пусть \(r\) и \(h\) — радиус основания и высота цилиндра, \(AB\) — хорда, по которой плоскость сечения пересекает нижнее основание; она видна из центра \(O\) под углом \(\alpha\), то есть \(\angle AOB = \alpha\). Образующие \(AA_1\) и \(BB_1\) параллельны оси цилиндра (образующие и ось перпендикулярны плоскости основания), а прямая, проходящая через точку плоскости параллельно прямой, параллельной этой плоскости, лежит в этой плоскости. Поэтому образующие \(AA_1\) и \(BB_1\) лежат в плоскости сечения, и сечение — прямоугольник \(AA_1B_1B\) со сторонами \(AB\) и \(AA_1 = h\), так как сечением цилиндра плоскостью, проходящей через две его образующие, является прямоугольник.
Плоскость сечения параллельна оси цилиндра и потому не проходит через точку \(O\) оси (иначе она содержала бы ось), значит, хорда \(AB\) не проходит через центр \(O\) и \(AOB\) — треугольник. Проведём высоту \(OK\) равнобедренного треугольника \(AOB\) (\(OA = OB = r\)); она является также медианой и биссектрисой, поэтому \(AB = 2AK\) и \(\angle AOK = \frac{\alpha}{2}\). Из треугольника \(AOK\) (\(\angle AKO = 90^\circ\)): \(AK = r \sin \frac{\alpha}{2}\), тогда \(AB = 2r \sin \frac{\alpha}{2}\).
Площадь сечения \(S = AB \cdot AA_1 = 2r \sin \frac{\alpha}{2} \cdot h\), откуда \(rh = \frac{S}{2\sin \frac{\alpha}{2}}\). Тогда \[S_{\text{бок}} = 2\pi rh = 2\pi \cdot \frac{S}{2\sin \frac{\alpha}{2}} = \frac{\pi S}{\sin \frac{\alpha}{2}}.\]
Ответ: \(\frac{\pi S}{\sin \frac{\alpha}{2}}\).
