Страница 85 номер 8.10, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Сторона основания правильной треугольной призмы равна 6 см, а высота — 5 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в данную призму.
Дано:
\(ABCA_1B_1C_1\) — правильная треугольная призма
\(AB = 6\) см
\(AA_1 = 5\) см
цилиндр вписан в призму
Найти: \(S_{\text{бок}}\) цилиндра.
Решение: Призма описана около цилиндра: её основания — правильные треугольники \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) — описаны около оснований цилиндра. Значит, основания цилиндра лежат в плоскостях оснований призмы, и высота цилиндра равна расстоянию между этими плоскостями. Правильная призма является прямой, её боковое ребро перпендикулярно плоскостям оснований, поэтому это расстояние равно боковому ребру: \(h = AA_1 = 5\) см.
Пусть \(O\) — центр нижнего основания цилиндра, \(M\) — точка касания окружности этого основания со стороной \(AC\). Окружность нижнего основания цилиндра вписана в правильный треугольник \(ABC\), а радиус окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной \(AB\), равен \(\frac{AB\sqrt{3}}{6}\), поэтому \(r = OM = \frac{6\sqrt{3}}{6} = \sqrt{3}\) (см).
\(S_{\text{бок}} = 2\pi rh = 2\pi \cdot \sqrt{3} \cdot 5 = 10\pi\sqrt{3}\) (см\(^2\)).
Ответ: \(10\pi\sqrt{3}\) см\(^2\).
Сторона основания правильной треугольной призмы равна 6 см, а высота — 5 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в данную призму.
Дано:
\(ABCA_1B_1C_1\) — правильная треугольная призма
\(AB = 6\) см
\(AA_1 = 5\) см
цилиндр вписан в призму
Найти: \(S_{\text{бок}}\) цилиндра.
Решение: Цилиндр вписан в призму, то есть призма описана около цилиндра: её основания — правильные треугольники \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) — описаны около оснований цилиндра. Значит, основания цилиндра лежат в плоскостях оснований призмы, и высота цилиндра равна расстоянию между этими плоскостями. Правильная призма является прямой, её боковое ребро перпендикулярно плоскостям оснований, поэтому это расстояние равно боковому ребру: \(h = AA_1 = 5\) см.
Пусть \(O\) — центр нижнего основания цилиндра, \(M\) — точка касания окружности этого основания со стороной \(AC\); радиус \(OM\), проведённый в точку касания, перпендикулярен \(AC\). Окружность нижнего основания цилиндра вписана в правильный треугольник \(ABC\), а радиус окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной \(AB\), равен \(\frac{AB\sqrt{3}}{6}\), поэтому \(r = OM = \frac{6\sqrt{3}}{6} = \sqrt{3}\) (см).
По формуле площади боковой поверхности цилиндра \(S_{\text{бок}} = 2\pi rh = 2\pi \cdot \sqrt{3} \cdot 5 = 10\pi\sqrt{3}\) (см\(^2\)).
Ответ: \(10\pi\sqrt{3}\) см\(^2\).
