Страница 78 номер 7.22, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(r\) — радиус основания цилиндра, \(h\) — его высота
угол между диагональю развёртки боковой поверхности и её стороной \(2\pi r\) равен \(\alpha\)
\(ABB_1A_1\) — осевое сечение цилиндра

Найти: угол между диагональю \(A_1B\) осевого сечения и плоскостью основания.

Решение: Развёртка боковой поверхности цилиндра — прямоугольник со сторонами \(2\pi r\) и \(h\). Диагональ развёртки разбивает его на два прямоугольных треугольника с катетами \(2\pi r\) и \(h\); угол \(\alpha\) прилежит к катету \(2\pi r\), поэтому \(\operatorname{tg}\alpha = \frac{h}{2\pi r}\), откуда \(h = 2\pi r\operatorname{tg}\alpha\).

Осевое сечение \(ABB_1A_1\) проходит через ось \(OO_1\) цилиндра (\(O\) и \(O_1\) — центры нижнего и верхнего оснований); это прямоугольник со сторонами \(AB = 2r\) (диаметр основания) и \(AA_1 = h\) (образующая). Образующая \(AA_1\) перпендикулярна плоскости основания, поэтому прямая \(AB\) — проекция прямой \(A_1B\) на эту плоскость, и угол \(A_1BA\) — угол между диагональю \(A_1B\) и плоскостью основания. Обозначим его \(\varphi\).

Из треугольника \(A_1AB\) (\(\angle A_1AB = 90^\circ\)): \(\operatorname{tg}\varphi = \frac{AA_1}{AB} = \frac{2\pi r\operatorname{tg}\alpha}{2r} = \pi\operatorname{tg}\alpha\), \(\varphi = \operatorname{arctg}(\pi\operatorname{tg}\alpha)\).

Другая диагональ \(AB_1\) образует с плоскостью основания такой же угол: прямоугольные треугольники \(B_1BA\) и \(A_1AB\) равны по двум катетам.

Ответ: \(\operatorname{arctg}(\pi\operatorname{tg}\alpha)\).