Страница 85 номер 8.4, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Найдите площадь полной поверхности цилиндра, описанного около куба, ребро которого равно \(a\).
Дано:
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — куб
\(AB = a\)
цилиндр описан около куба
Найти: \(S_{\text{полн}}\) цилиндра.
Решение: Куб вписан в цилиндр: его основания — квадраты \(ABCD\) и \(A_1B_1C_1D_1\) — вписаны в основания цилиндра, а боковые рёбра куба являются образующими цилиндра. Пусть \(O\) — центр нижнего основания цилиндра, \(r\) — радиус основания, \(h\) — высота цилиндра.
Любая образующая цилиндра является его высотой, поэтому \(h = AA_1 = a\).
Угол \(ABC\) квадрата прямой и вписан в окружность нижнего основания цилиндра, поэтому он опирается на диаметр: \(AC\) — диаметр этой окружности, и \(r = OA = \frac{AC}{2}\). Из треугольника \(ABC\) (\(\angle B = 90^\circ\)): \(AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}\), поэтому \(r = \frac{a\sqrt{2}}{2}\).
\[\begin{aligned} &S_{\text{полн}} = 2\pi rh + 2\pi r^2 = 2\pi \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2} \cdot a + 2\pi \cdot \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = {} \\ &= \pi a^2\sqrt{2} + \pi a^2 = \pi a^2(\sqrt{2} + 1). \end{aligned}\]
Ответ: \(\pi a^2(\sqrt{2} + 1)\).
Найдите площадь полной поверхности цилиндра, описанного около куба, ребро которого равно \(a\).
Дано:
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — куб
\(AB = a\)
цилиндр описан около куба
Найти: \(S_{\text{полн}}\) цилиндра.
Решение: Цилиндр описан около куба, то есть куб вписан в цилиндр: его основания — квадраты \(ABCD\) и \(A_1B_1C_1D_1\) — вписаны в основания цилиндра, а боковые рёбра куба, как боковые рёбра призмы, вписанной в цилиндр, являются образующими цилиндра. Пусть \(O\) — центр нижнего основания цилиндра, \(r\) — радиус основания, \(h\) — высота цилиндра.
Любая образующая цилиндра является его высотой, поэтому \(h = AA_1 = a\).
Угол \(ABC\) квадрата прямой и вписан в окружность нижнего основания цилиндра, поэтому он опирается на диаметр: \(AC\) — диаметр этой окружности, и \(r = OA = \frac{AC}{2}\). Из треугольника \(ABC\) (\(\angle B = 90^\circ\)): \(AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}\), поэтому \(r = \frac{a\sqrt{2}}{2}\).
По формуле площади полной поверхности цилиндра \[\begin{aligned} &S_{\text{полн}} = 2\pi rh + 2\pi r^2 = 2\pi \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2} \cdot a + 2\pi \cdot \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = {} \\ &= \pi a^2\sqrt{2} + \pi a^2 = \pi a^2(\sqrt{2} + 1). \end{aligned}\]
Ответ: \(\pi a^2(\sqrt{2} + 1)\).
