Страницы 79-80 номер 7.34, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

В условии \(AB \perp KB\); если же перпендикулярны прямые \(AB\) и \(KD\), ответ получается другим — разберём оба случая.

Дано:
цилиндр
\(A\), \(C\), \(D\) лежат на окружности основания
\(\angle DAC = 90^\circ\), \(\angle ADC = 30^\circ\), \(AC = 1\) см
\(CK\) и \(DM\) — образующие
\(B\) лежит на \(DM\), \(DB : BM = 3 : 1\)
\(AB \perp KB\)

Найти: \(S_{\text{полн}}\).

Решение: Пусть \(r\) и \(h\) — радиус основания и высота цилиндра, точки \(A\), \(C\), \(D\) лежат на окружности нижнего основания. Вписанный угол \(DAC\) прямой, поэтому он опирается на диаметр: \(DC\) — диаметр основания. В прямоугольном треугольнике \(DAC\) катет \(AC\) лежит против угла \(30^\circ\), поэтому \(DC = 2AC = 2\) см и \(r = 1\) см.

Сечение цилиндра плоскостью, проходящей через образующие \(CK\) и \(DM\), — прямоугольник \(DCKM\) со сторонами \(DC = 2\) см и \(CK = DM = h\). Обозначим \(BM = x\) см, тогда \(DB = 3x\) см и \(h = 4x\) см.

Проведём высоту \(AA'\) треугольника \(DAC\). Прямая \(AA'\) перпендикулярна прямой \(DC\) и прямой \(DM\) (образующая \(DM\) перпендикулярна плоскости основания), то есть двум пересекающимся прямым плоскости \(DCK\), поэтому \(AA' \perp DCK\), и \(A'B\) — проекция наклонной \(AB\) на эту плоскость. Прямая \(KB\) лежит в плоскости \(DCK\) и перпендикулярна наклонной \(AB\), поэтому по теореме о трёх перпендикулярах \(KB \perp A'B\).

В треугольнике \(DAC\) угол \(ACD\) равен \(90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\). Из треугольника \(AA'C\) (\(\angle AA'C = 90^\circ\)): \(CA' = AC \cos 60^\circ = 0{,}5\) см, тогда \(DA' = DC - CA' = 1{,}5\) см.

Точка \(B\) лежит на отрезке \(DM\), а \(\angle A'BK = 90^\circ\), поэтому \(\angle DBA' = 180^\circ - 90^\circ - \angle MBK = 90^\circ - \angle MBK = \angle MKB\) (сумма острых углов прямоугольного треугольника \(BMK\) равна \(90^\circ\)). Прямоугольные треугольники \(A'DB\) и \(BMK\) подобны по острому углу, поэтому \(\frac{DA'}{DB} = \frac{MB}{MK}\): \[\begin{aligned} \frac{1{,}5}{3x} &= \frac{x}{2}; \\ 3x^2 &= 3; \qquad | : 3 \\ x^2 &= 1. \end{aligned}\]

Значит, \(x = 1\) (\(x > 0\)), \(h = 4\) см и \(S_{\text{полн}} = 2\pi rh + 2\pi r^2 = 2\pi \cdot 1 \cdot 4 + 2\pi \cdot 1^2 = 10\pi\) (см\(^2\)).

Если \(AB \perp KD\), то тем же путём по теореме о трёх перпендикулярах \(KD \perp A'B\). Пусть \(P\) — точка пересечения прямых \(A'B\) и \(KD\); из прямоугольных треугольников \(DPB\) и \(DMK\): \(\angle DBA' = 90^\circ - \angle BDK = \angle DKM\). Тогда прямоугольные треугольники \(A'DB\) и \(DMK\) подобны по острому углу и \(\frac{DA'}{DB} = \frac{DM}{MK}\), то есть \(\frac{1{,}5}{3x} = \frac{4x}{2}\), откуда \(12x^2 = 3\), \(x = \frac{1}{2}\), \(h = 2\) см и \(S_{\text{полн}} = 2\pi \cdot 1 \cdot 2 + 2\pi \cdot 1^2 = 6\pi\) (см\(^2\)).

Ответ: \(10\pi\) см\(^2\); при \(AB \perp KD\) — \(6\pi\) см\(^2\).