Страница 79 номер 7.30, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Дано:
цилиндр, \(r = 13\) см, \(h = 32\) см
\(ABCD\) — прямоугольник
\(A\) и \(D\) лежат на окружности нижнего основания
\(B\) и \(C\) лежат на окружности верхнего основания
\(AB = 4AD\)
Найти: \(S_{ABCD}\).
Решение: Пусть \(AD = x\) см, тогда \(AB = 4x\) см. Проведём образующую \(BB'\) цилиндра: точка \(B'\) лежит на окружности нижнего основания, \(BB' = h = 32\) см, прямая \(BB'\) перпендикулярна плоскости нижнего основания.
Если точка \(B'\) совпадает с \(A\), то сторона \(AB\) — образующая цилиндра, \(4x = 32\), \(x = 8\) и \(S_{ABCD} = AD \cdot AB = 8 \cdot 32 = 256\) (см\(^2\)). Такой прямоугольник есть: хорда \(AD = 8\) см короче диаметра основания, равного 26 см, а сечение цилиндра плоскостью, проходящей через образующие с концами \(A\) и \(D\), — прямоугольник со сторонами 8 см и 32 см.
Если точка \(B'\) отлична от \(A\), то \(AB'\) — проекция наклонной \(AB\) на плоскость нижнего основания. Прямая \(AD\) лежит в этой плоскости и перпендикулярна наклонной \(AB\) (соседние стороны прямоугольника), поэтому по теореме о трёх перпендикулярах \(AD \perp AB'\). Значит, вписанный угол \(DAB'\) — прямой, и он опирается на диаметр: \(DB' = 2r = 26\) см.
Из прямоугольного треугольника \(ABB'\) (\(\angle AB'B = 90^\circ\)): \(AB'^2 = AB^2 - BB'^2 = 16x^2 - 1024\). Из прямоугольного треугольника \(DAB'\) (\(\angle DAB' = 90^\circ\)): \(AD^2 + AB'^2 = DB'^2\), то есть \[\begin{aligned} x^2 + 16x^2 - 1024 &= 676; \\ 17x^2 &= 1700; \qquad | : 17 \\ x^2 &= 100. \end{aligned}\]
Значит, \(x = 10\) (\(x > 0\)), \(AD = 10\) см, \(AB = 40\) см и \(S_{ABCD} = 10 \cdot 40 = 400\) (см\(^2\)). Такой прямоугольник тоже есть. Впишем в окружность нижнего основания прямоугольник \(AB'C'D\) со сторонами \(AD = 10\) см и \(AB' = 24\) см (его диагональ равна \(\sqrt{100 + 576} = 26\) см, то есть диаметру) и проведём образующие \(B'B\) и \(C'C\). Сечение \(BB'C'C\) — прямоугольник (его плоскость проходит через две образующие), поэтому отрезок \(BC\) параллелен и равен отрезку \(B'C'\), а значит, и отрезку \(AD\); следовательно, \(ABCD\) — параллелограмм. По теореме о трёх перпендикулярах \(AD \perp AB\), то есть \(ABCD\) — прямоугольник, причём \(AB = \sqrt{AB'^2 + BB'^2} = \sqrt{576 + 1024} = 40\) см, что в 4 раза больше \(AD\).
Ответ: 256 см\(^2\) или 400 см\(^2\).
Дано:
цилиндр, \(r = 13\) см, \(h = 32\) см
\(ABCD\) — прямоугольник
\(A\) и \(D\) лежат на окружности нижнего основания
\(B\) и \(C\) лежат на окружности верхнего основания
\(AB = 4AD\)
Найти: \(S_{ABCD}\).
Решение: Пусть \(AD = x\) см, тогда \(AB = 4x\) см. Проведём образующую \(BB'\) цилиндра: точка \(B'\) лежит на окружности нижнего основания, \(BB' = h = 32\) см, прямая \(BB'\) перпендикулярна плоскости нижнего основания. Возможны два случая.
Если точка \(B'\) совпадает с \(A\), то сторона \(AB\) — образующая цилиндра, \(4x = 32\), \(x = 8\) и \(S_{ABCD} = AD \cdot AB = 8 \cdot 32 = 256\) (см\(^2\)). Такой прямоугольник есть: хорда \(AD = 8\) см короче диаметра основания, равного 26 см, а сечение цилиндра плоскостью, проходящей через образующие с концами \(A\) и \(D\), — прямоугольник со сторонами 8 см и 32 см.
Если точка \(B'\) отлична от \(A\), то \(AB'\) — проекция наклонной \(AB\) на плоскость нижнего основания. Прямая \(AD\) лежит в этой плоскости и перпендикулярна наклонной \(AB\) (соседние стороны прямоугольника), поэтому по теореме о трёх перпендикулярах \(AD \perp AB'\). Значит, вписанный угол \(DAB'\) — прямой, и он опирается на диаметр: \(DB' = 2r = 26\) см.
Из прямоугольного треугольника \(ABB'\) (\(\angle AB'B = 90^\circ\)): \(AB'^2 = AB^2 - BB'^2 = 16x^2 - 1024\). Из прямоугольного треугольника \(DAB'\) (\(\angle DAB' = 90^\circ\)): \(AD^2 + AB'^2 = DB'^2\), то есть \[\begin{aligned} x^2 + 16x^2 - 1024 &= 676; \\ 17x^2 &= 1700; \qquad | : 17 \\ x^2 &= 100. \end{aligned}\]
Значит, \(x = 10\) (\(x > 0\)), \(AD = 10\) см, \(AB = 40\) см и \(S_{ABCD} = 10 \cdot 40 = 400\) (см\(^2\)). Такой прямоугольник тоже есть. Впишем в окружность нижнего основания прямоугольник \(AB'C'D\) со сторонами \(AD = 10\) см и \(AB' = 24\) см (его диагональ равна \(\sqrt{100 + 576} = 26\) см, то есть диаметру) и проведём образующие \(B'B\) и \(C'C\). Сечение \(BB'C'C\) — прямоугольник (его плоскость проходит через две образующие), поэтому отрезок \(BC\) параллелен и равен отрезку \(B'C'\), а значит, и отрезку \(AD\); следовательно, \(ABCD\) — параллелограмм. По теореме о трёх перпендикулярах \(AD \perp AB\), то есть \(ABCD\) — прямоугольник, причём \(AB = \sqrt{AB'^2 + BB'^2} = \sqrt{576 + 1024} = 40\) см, что в 4 раза больше \(AD\).
Ответ: 256 см\(^2\) или 400 см\(^2\).
