Страница 76 номер 7.5, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(ABCD\) — развёртка боковой поверхности цилиндра
\(AC = d\)
\(\angle CAD = \alpha\)

Найти: \(S_{\text{бок}}\).

Решение: Развёртка боковой поверхности цилиндра — прямоугольник \(ABCD\), стороны которого равны \(h\) и \(2\pi r\), где \(h\) — высота цилиндра, \(r\) — радиус его основания; вершины обозначены так, что данный угол — угол \(CAD\) между диагональю \(AC\) и стороной \(AD\). За площадь боковой поверхности цилиндра принимают площадь развёртки его боковой поверхности, поэтому \(S_{\text{бок}} = S_{ABCD} = AD \cdot DC\); какая из сторон \(AD\) и \(DC\) равна \(h\), а какая — \(2\pi r\), для площади безразлично.

Из прямоугольного треугольника \(ACD\) (\(\angle ADC = 90^\circ\)): \(AD = AC \cos \alpha = d\cos\alpha\), \(DC = AC \sin \alpha = d\sin\alpha\). По формуле синуса двойного угла \(2\sin\alpha\cos\alpha = \sin 2\alpha\), поэтому

\[S_{\text{бок}} = AD \cdot DC = d^2 \sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}d^2 \sin 2\alpha.\]

Ответ: \(\frac{1}{2}d^2 \sin 2\alpha\).