Страница 78 номер 7.24, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(O\), \(O_1\) — центры нижнего и верхнего оснований цилиндра, \(r = 1\) см
\(A\) — точка окружности нижнего основания, \(B\) — точка окружности верхнего основания, \(AB = \sqrt{2}\) см
угол между прямой \(AB\) и плоскостью основания равен \(45^\circ\)

Найти: расстояние между прямыми \(AB\) и \(OO_1\).

Решение: Проведём образующую \(BK\) цилиндра. Она перпендикулярна плоскости основания, поэтому прямая \(AK\) — проекция прямой \(AB\) на эту плоскость, и угол \(BAK\) — угол между прямой \(AB\) и плоскостью основания: \(\angle BAK = 45^\circ\). Из треугольника \(ABK\) (\(\angle AKB = 90^\circ\)): \(AK = AB\cos 45^\circ = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1\) (см).

Хорда \(AK\) короче диаметра (\(1 < 2\)), поэтому центр \(O\) не лежит на прямой \(AK\) — линии пересечения плоскости \(ABK\) с плоскостью основания, — и ось \(OO_1\) не лежит в плоскости \(ABK\). Ось параллельна образующей \(BK\), лежащей в этой плоскости, значит, \(OO_1 \parallel ABK\). Прямая \(AB\) лежит в плоскости \(ABK\), поэтому с осью не пересекается; не параллельна она оси, так как пересекает в точке \(B\) прямую \(BK\), параллельную оси, и не совпадает с этой прямой. Значит, прямые \(AB\) и \(OO_1\) скрещиваются, и расстояние между ними равно расстоянию между прямой \(OO_1\) и плоскостью \(ABK\), то есть длине перпендикуляра, опущенного на эту плоскость из любой точки оси, например из точки \(O\).

Пусть \(M\) — середина хорды \(AK\). Треугольник \(AOK\) равносторонний: \(OA = OK = AK = 1\) см. Его медиана \(OM\) является высотой: \(OM \perp AK\). Кроме того, \(OM \perp BK\), так как образующая \(BK\) перпендикулярна плоскости основания. Прямая \(OM\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(AK\) и \(BK\) плоскости \(ABK\), следовательно, \(OM \perp ABK\), и длина отрезка \(OM\) — искомое расстояние.

Из треугольника \(AOM\) (\(\angle AMO = 90^\circ\), \(AM = \frac{1}{2}AK = \frac{1}{2}\) см): \(OM = \sqrt{OA^2 - AM^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\) (см).

Ответ: \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) см.