Страница 76 номер 7.8, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(ABB_1A_1\) — осевое сечение цилиндра
\(AB > AA_1\)
угол между диагоналями \(AB_1\) и \(A_1B\) равен \(\alpha\)
\(S_{\text{осн}} = S\)

Найти: \(S_{\text{бок}}\).

Решение: Осевое сечение \(ABB_1A_1\) — прямоугольник, две стороны которого — диаметры оснований цилиндра, а две другие — образующие: \(AB = 2r\), \(AA_1 = h\), где \(r\) — радиус основания, \(h\) — высота цилиндра. Пусть \(K\) — точка пересечения диагоналей \(AB_1\) и \(A_1B\).

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому \(KA = KB\) и в равнобедренном треугольнике \(AKB\) углы при основании равны: \(\angle KAB = \angle KBA = \angle A_1BA\). В прямоугольном треугольнике \(ABA_1\) (\(\angle BAA_1 = 90^\circ\)) катет \(AA_1\) меньше катета \(AB\), поэтому противолежащий ему угол \(A_1BA\) меньше угла \(AA_1B\), а сумма этих углов равна \(90^\circ\); значит, \(\angle A_1BA < 45^\circ\). Тогда \(\angle AKB = 180^\circ - 2\angle A_1BA > 90^\circ\), и угол между диагоналями — смежный с ним острый угол \(AKA_1\): \(\alpha = \angle AKA_1 = 2\angle A_1BA\), причём \(\alpha < 90^\circ\). Значит, \(\angle A_1BA = \frac{\alpha}{2}\).

Из треугольника \(ABA_1\) (\(\angle BAA_1 = 90^\circ\)): \(h = AA_1 = AB \operatorname{tg}\frac{\alpha}{2} = 2r\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}\). По условию \(S_{\text{осн}} = \pi r^2 = S\), поэтому

\[S_{\text{бок}} = 2\pi rh = 2\pi r \cdot 2r\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2} = 4\pi r^2\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2} = 4S\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}.\]

Ответ: \(4S\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}\).