Страница 86 номер 8.11, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Ребро куба равно \(a\). Найдите площадь полной поверхности цилиндра, вписанного в данный куб.
Дано:
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — куб
\(AB = a\)
цилиндр вписан в куб
Найти: \(S_{\text{полн}}\) цилиндра.
Решение: Цилиндр вписан в куб, значит, основания куба \(ABCD\) и \(A_1B_1C_1D_1\) описаны около оснований цилиндра: окружности оснований цилиндра вписаны в эти квадраты, а центры \(O\) и \(O_1\) оснований цилиндра — центры квадратов.
Окружность, вписанная в квадрат \(ABCD\), касается стороны \(AB\) в её середине \(M\), а радиус \(OM\), проведённый в точку касания, равен половине стороны квадрата: \(r = OM = \frac{a}{2}\).
Основания цилиндра лежат в плоскостях граней \(ABCD\) и \(A_1B_1C_1D_1\), а ребро \(AA_1\) перпендикулярно этим плоскостям, поэтому высота цилиндра равна ребру куба: \(h = AA_1 = a\).
\[\begin{aligned} S_{\text{бок}} &= 2\pi rh = 2\pi \cdot \frac{a}{2} \cdot a = \pi a^2; \\ S_{\text{осн}} &= \pi r^2 = \pi \cdot \frac{a^2}{4} = \frac{\pi a^2}{4}; \\ S_{\text{полн}} &= S_{\text{бок}} + 2S_{\text{осн}} = \pi a^2 + \frac{\pi a^2}{2} = \frac{3\pi a^2}{2}. \end{aligned}\]
Ответ: \(\frac{3\pi a^2}{2}\).
Ребро куба равно \(a\). Найдите площадь полной поверхности цилиндра, вписанного в данный куб.
Дано:
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — куб
\(AB = a\)
цилиндр вписан в куб
Найти: \(S_{\text{полн}}\) цилиндра.
Решение: Куб — правильная четырёхугольная призма. Цилиндр вписан в куб, значит, основания куба \(ABCD\) и \(A_1B_1C_1D_1\) описаны около оснований цилиндра: окружности оснований цилиндра вписаны в эти квадраты, а центры \(O\) и \(O_1\) оснований цилиндра — центры квадратов.
Окружность, вписанная в квадрат \(ABCD\), касается стороны \(AB\) в её середине \(M\), а радиус \(OM\), проведённый в точку касания, равен половине стороны квадрата: \(r = OM = \frac{a}{2}\).
Основания цилиндра лежат в плоскостях граней \(ABCD\) и \(A_1B_1C_1D_1\), а ребро \(AA_1\) перпендикулярно этим плоскостям, поэтому высота цилиндра равна ребру куба: \(h = AA_1 = a\).
\[\begin{aligned} S_{\text{бок}} &= 2\pi rh = 2\pi \cdot \frac{a}{2} \cdot a = \pi a^2; \\ S_{\text{осн}} &= \pi r^2 = \pi \cdot \frac{a^2}{4} = \frac{\pi a^2}{4}; \\ S_{\text{полн}} &= S_{\text{бок}} + 2S_{\text{осн}} = \pi a^2 + \frac{\pi a^2}{2} = \frac{3\pi a^2}{2}. \end{aligned}\]
Ответ: \(\frac{3\pi a^2}{2}\).
