Страница 77 номер 7.10, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(O\), \(O_1\) — центры нижнего и верхнего оснований цилиндра
\(AB\) — хорда нижнего основания
\(\angle AOB = 120^\circ\)
\(\angle AO_1B = 60^\circ\)
\(AB = 6\) см

Найти: \(S_{\text{бок}}\).

Решение: Отрезки \(OA\) и \(OB\) — радиусы нижнего основания: \(OA = OB = r\). Отрезок \(OO_1\) оси цилиндра перпендикулярен плоскости нижнего основания и равен высоте цилиндра: \(OO_1 = h\); прямые \(OA\) и \(OB\) лежат в этой плоскости, поэтому \(OO_1 \perp OA\) и \(OO_1 \perp OB\).

Из треугольника \(AOB\) по теореме косинусов \(AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos 120^\circ = r^2 + r^2 + r^2 = 3r^2\), откуда \(r = \frac{AB}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}\) (см).

Прямоугольные треугольники \(O_1OA\) и \(O_1OB\) равны по двум катетам (\(OO_1\) — общий катет, \(OA = OB\)), поэтому \(O_1A = O_1B\). В равнобедренном треугольнике \(AO_1B\) угол при вершине равен \(60^\circ\), значит, каждый угол при основании равен \(\frac{180^\circ - 60^\circ}{2} = 60^\circ\) и треугольник \(AO_1B\) равносторонний: \(O_1A = AB = 6\) см.

Из треугольника \(O_1OA\) (\(\angle O_1OA = 90^\circ\)): \(h = OO_1 = \sqrt{O_1A^2 - OA^2} = \sqrt{36 - 12} = 2\sqrt{6}\) (см).

\(S_{\text{бок}} = 2\pi rh = 2\pi \cdot 2\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{6} = 8\pi\sqrt{18} = 24\pi\sqrt{2}\) (см\(^2\)).

Ответ: \(24\pi\sqrt{2}\) см\(^2\).