Страница 80 номер 7.37, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(ABCD\) — трапеция, \(BC \parallel AD\)
\(BC = 6\) см, \(AD = 27\) см
\(AB = 13\) см
в трапецию \(ABCD\) вписана окружность

Найти: \(r\) — радиус вписанной окружности.

Решение: В четырёхугольник \(ABCD\) вписана окружность, поэтому суммы его противолежащих сторон равны: \(AB + CD = BC + AD\), откуда \(CD = 6 + 27 - 13 = 20\) (см).

Проведём через вершину \(C\) прямую, параллельную \(AB\); она пересекает прямую \(AD\) в точке \(E\). Четырёхугольник \(ABCE\) — параллелограмм (\(BC \parallel AE\), \(AB \parallel CE\)), поэтому \(AE = BC = 6\) см, \(CE = AB = 13\) см и \(ED = AD - AE = 21\) см. Высота \(CH\) трапеции является высотой треугольника \(CED\) со сторонами 13 см, 20 см и 21 см. Его площадь найдём по формуле Герона: полупериметр \(p = \frac{13 + 20 + 21}{2} = 27\) (см), \(S_{CED} = \sqrt{27 \cdot 14 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{3^4 \cdot 2^2 \cdot 7^2} = 126\) (см\(^2\)). Тогда \(CH = \frac{2S_{CED}}{ED} = \frac{2 \cdot 126}{21} = 12\) (см).

Окружность касается параллельных прямых \(AD\) и \(BC\), поэтому расстояние между ними — высота трапеции — равно диаметру окружности: \(2r = CH = 12\) см, \(r = 6\) см.

Ответ: 6 см.