Страница 77 номер 7.11, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
В нижнем основании цилиндра проведена хорда, которую видно из центра этого основания под углом \(90^\circ\), а из центра верхнего основания — под углом \(60^\circ\). Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если радиус его основания равен 8 см.
Дано:
\(O\), \(O_1\) — центры нижнего и верхнего оснований цилиндра
\(AB\) — хорда нижнего основания
\(\angle AOB = 90^\circ\)
\(\angle AO_1B = 60^\circ\)
\(r = 8\) см
Найти: \(S_{\text{бок}}\).
Решение: Отрезки \(OA\) и \(OB\) — радиусы нижнего основания: \(OA = OB = r = 8\) см. Отрезок \(OO_1\) оси цилиндра перпендикулярен плоскости нижнего основания и равен высоте цилиндра: \(OO_1 = h\); прямые \(OA\) и \(OB\) лежат в этой плоскости, поэтому \(OO_1 \perp OA\) и \(OO_1 \perp OB\).
Из треугольника \(AOB\) (\(\angle AOB = 90^\circ\)): \(AB = \sqrt{OA^2 + OB^2} = \sqrt{64 + 64} = 8\sqrt{2}\) (см).
Прямоугольные треугольники \(O_1OA\) и \(O_1OB\) равны по двум катетам (\(OO_1\) — общий катет, \(OA = OB\)), поэтому \(O_1A = O_1B\). В равнобедренном треугольнике \(AO_1B\) угол при вершине равен \(60^\circ\), значит, каждый угол при основании равен \(\frac{180^\circ - 60^\circ}{2} = 60^\circ\) и треугольник \(AO_1B\) равносторонний: \(O_1A = AB = 8\sqrt{2}\) см.
Из треугольника \(O_1OA\) (\(\angle O_1OA = 90^\circ\)): \(h = OO_1 = \sqrt{O_1A^2 - OA^2} = \sqrt{128 - 64} = 8\) (см).
\(S_{\text{бок}} = 2\pi rh = 2\pi \cdot 8 \cdot 8 = 128\pi\) (см\(^2\)).
Ответ: \(128\pi\) см\(^2\).
