Страница 85 номер 8.9, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(ABCA_1B_1C_1\) — правильная треугольная призма
\(AH\) — высота треугольника \(ABC\)
\(AH = 9\) см
\(AA_1 = 4\) см
цилиндр описан около призмы

Найти: площадь осевого сечения цилиндра.

Решение: Цилиндр описан около призмы, поэтому основание \(ABC\) призмы вписано в окружность нижнего основания цилиндра, а боковые рёбра призмы являются образующими цилиндра. Любая образующая цилиндра является его высотой, поэтому высота цилиндра \(h = AA_1 = 4\) см.

Пусть \(O\) — центр окружности, описанной около правильного треугольника \(ABC\), то есть центр нижнего основания цилиндра. В правильном треугольнике высота \(AH\) является и медианой, а центр описанной окружности совпадает с точкой пересечения медиан, которая делит каждую медиану в отношении \(2 : 1\), считая от вершины. Поэтому радиус основания цилиндра \(r = OA = \frac{2}{3} AH = \frac{2}{3} \cdot 9 = 6\) (см).

Осевое сечение цилиндра — прямоугольник, две стороны которого — диаметры оснований, а две другие — образующие; например, сечение \(AKK_1A_1\) плоскостью, проходящей через ось цилиндра и боковое ребро \(AA_1\): его сторона \(AK\) — диаметр окружности нижнего основания, содержащий высоту \(AH\) (центр \(O\) лежит на \(AH\)), а \(KK_1\) — образующая. Его площадь \(S_{AKK_1A_1} = AK \cdot AA_1 = 2r \cdot h = 12 \cdot 4 = 48\) (см\(^2\)).

Ответ: 48 см\(^2\).