Страница 79 номер 7.33, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
цилиндр
\(A\), \(B\), \(C\) лежат на окружности основания
\(\angle ACB = 90^\circ\), \(AC = CB = 2\) см
\(AK\) и \(BD\) — образующие
\(M\) — середина \(BD\)
\(CM \perp KB\)

Найти: \(S_{\text{бок}}\).

Решение: Пусть \(r\) и \(h\) — радиус основания и высота цилиндра, точки \(A\), \(B\), \(C\) лежат на окружности нижнего основания. Вписанный угол \(ACB\) прямой, поэтому он опирается на диаметр: \(AB\) — диаметр основания, его середина \(O\) — центр основания. Из треугольника \(ACB\) (\(\angle ACB = 90^\circ\)): \(AB = \sqrt{AC^2 + CB^2} = \sqrt{4 + 4} = 2\sqrt{2}\) (см), поэтому \(r = \sqrt{2}\) см.

Сечение цилиндра плоскостью, проходящей через образующие \(AK\) и \(BD\), — прямоугольник \(ABDK\) со сторонами \(AB = 2\sqrt{2}\) см и \(BD = h\).

Медиана \(CO\) равнобедренного треугольника \(ACB\) является его высотой: \(CO \perp AB\). Кроме того, \(CO \perp BD\), так как образующая \(BD\) перпендикулярна плоскости основания. Прямая \(CO\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(AB\) и \(BD\) плоскости \(ABD\), поэтому \(CO \perp ABD\), и \(OM\) — проекция наклонной \(CM\) на эту плоскость. Прямая \(KB\) лежит в плоскости \(ABD\) и перпендикулярна наклонной \(CM\), поэтому по теореме о трёх перпендикулярах \(KB \perp OM\).

Отрезок \(OM\) — средняя линия треугольника \(ABD\) (\(O\) и \(M\) — середины \(AB\) и \(BD\)), поэтому \(OM \parallel AD\). Значит, \(KB \perp AD\): диагонали прямоугольника \(ABDK\) перпендикулярны, а прямоугольник с перпендикулярными диагоналями — квадрат. Тогда \(h = BD = AB = 2\sqrt{2}\) см и \(S_{\text{бок}} = 2\pi rh = 2\pi \cdot \sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} = 8\pi\) (см\(^2\)).

Ответ: \(8\pi\) см\(^2\).