Страница 76 номер 7.3, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(O\), \(O_1\) — центры нижнего и верхнего оснований цилиндра
\(A\) — точка окружности нижнего основания
\(O_1A = 6\) см
угол между прямой \(O_1A\) и плоскостью основания равен \(60^\circ\)

Найти: \(S_{\text{бок}}\).

Решение: Отрезок \(OO_1\) оси цилиндра перпендикулярен плоскости нижнего основания и равен высоте цилиндра: \(OO_1 = h\); отрезок \(OA\) — радиус нижнего основания: \(OA = r\). Точка \(A\) лежит в плоскости нижнего основания, поэтому \(OO_1 \perp OA\) и прямая \(OA\) является проекцией прямой \(O_1A\) на плоскость основания цилиндра. Следовательно, угол \(O_1AO\) — угол между прямой \(O_1A\) и плоскостью основания: \(\angle O_1AO = 60^\circ\).

Из треугольника \(O_1OA\) (\(\angle O_1OA = 90^\circ\)): \(r = OA = O_1A \cos 60^\circ = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3\) (см), \(h = OO_1 = O_1A \sin 60^\circ = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\) (см).

\(S_{\text{бок}} = 2\pi rh = 2\pi \cdot 3 \cdot 3\sqrt{3} = 18\pi\sqrt{3}\) (см\(^2\)).

Ответ: \(18\pi\sqrt{3}\) см\(^2\).