Страница 86 номер 8.14, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
правильная шестиугольная призма с основанием \(ABCDEF\)
\(S_1\) — площадь боковой поверхности цилиндра, описанного около призмы
\(S_2\) — площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в призму

Найти: \(S_1 : S_2\).

Решение: Правильная призма — прямая, её основания — правильные шестиугольники. Пусть \(AB = a\), высота призмы равна \(h\), а \(O\) и \(O_1\) — центры её оснований.

Призма вписана в цилиндр, описанный около неё: основания призмы вписаны в основания цилиндра, а боковые рёбра призмы — образующие цилиндра. Поэтому радиус \(R\) основания этого цилиндра равен радиусу окружности, описанной около шестиугольника \(ABCDEF\), а высота цилиндра равна боковому ребру призмы, то есть \(h\).

Основания призмы описаны около оснований вписанного в неё цилиндра, поэтому радиус \(r\) его основания равен радиусу окружности, вписанной в шестиугольник \(ABCDEF\). Основания этого цилиндра лежат в плоскостях оснований призмы, поэтому его высота тоже равна \(h\).

Центр \(O\) правильного шестиугольника — центр и описанной, и вписанной окружностей. Треугольник \(AOB\) равнобедренный (\(OA = OB\)), и \(\angle AOB = \frac{360^\circ}{6} = 60^\circ\), поэтому он равносторонний: \(R = OA = AB = a\). Вписанная окружность касается стороны \(AB\) в её середине \(M\), поэтому \(r = OM\) — высота равностороннего треугольника \(AOB\) со стороной \(a\): \(r = \frac{a\sqrt{3}}{2}\).

Высоты обоих цилиндров равны \(h\), поэтому \[S_1 : S_2 = 2\pi Rh : 2\pi rh = R : r = a : \frac{a\sqrt{3}}{2} = 2 : \sqrt{3}.\]

Ответ: \(2 : \sqrt{3}\).