Страница 76 номер 7.6, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Квадрат, диагональ которого равна \(4\pi\) см, является развёрткой боковой поверхности цилиндра. Найдите площадь основания этого цилиндра.
Дано:
\(ABCD\) — квадрат, развёртка боковой поверхности цилиндра
\(AC = 4\pi\) см
Найти: \(S_{\text{осн}}\).
Решение: Стороны развёртки боковой поверхности цилиндра равны \(2\pi r\) и \(h\), где \(r\) — радиус основания цилиндра, \(h\) — его высота: \(AD = 2\pi r\), \(DC = h\). Развёртка — квадрат, поэтому \(AD = DC\).
Из прямоугольного треугольника \(ACD\) (\(\angle ADC = 90^\circ\), \(AD = DC\)): \(AC = \sqrt{AD^2 + DC^2} = AD\sqrt{2}\), откуда \(AD = \frac{AC}{\sqrt{2}} = \frac{4\pi}{\sqrt{2}} = 2\pi\sqrt{2}\) (см).
Тогда \(2\pi r = 2\pi\sqrt{2}\), откуда \(r = \sqrt{2}\) см и \(S_{\text{осн}} = \pi r^2 = \pi \cdot (\sqrt{2})^2 = 2\pi\) (см\(^2\)).
Ответ: \(2\pi\) см\(^2\).
