Страница 77 номер 7.15, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(O\), \(O_1\) — центры нижнего и верхнего оснований цилиндра
\(r = 10\) см, \(h = 12\) см
сечение, параллельное оси \(OO_1\), — квадрат

Найти: расстояние от оси \(OO_1\) до плоскости сечения.

Решение: Пусть плоскость сечения пересекает окружность нижнего основания в точках \(A\) и \(B\). Образующие \(AA_1\) и \(BB_1\) цилиндра параллельны оси \(OO_1\), а ось параллельна плоскости сечения, поэтому прямые \(AA_1\) и \(BB_1\) параллельны этой плоскости или лежат в ней; так как точки \(A\) и \(B\) ей принадлежат, образующие \(AA_1\) и \(BB_1\) лежат в плоскости сечения. Сечением цилиндра плоскостью, проходящей через две его образующие, является прямоугольник, значит, сечение — прямоугольник \(AA_1B_1B\) со сторонами \(AA_1 = h = 12\) см и \(AB\). По условию он квадрат, поэтому \(AB = AA_1 = 12\) см.

Пусть \(K\) — середина хорды \(AB\). Хорда \(AB\) короче диаметра (\(12 < 20\)), поэтому не проходит через центр \(O\), и \(AOB\) — равнобедренный треугольник (\(OA = OB = r\)); его медиана \(OK\) является высотой: \(OK \perp AB\). Кроме того, \(OK \perp AA_1\), так как образующая \(AA_1\) перпендикулярна плоскости основания. Прямая \(OK\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(AB\) и \(AA_1\) плоскости сечения, следовательно, \(OK\) — перпендикуляр к этой плоскости. Ось \(OO_1\) параллельна плоскости сечения, поэтому расстояние от оси до плоскости сечения равно расстоянию от любой точки оси, например от точки \(O\), до этой плоскости, то есть длине отрезка \(OK\).

Из треугольника \(AOK\) (\(\angle AKO = 90^\circ\), \(AK = \frac{1}{2}AB = 6\) см): \(OK = \sqrt{OA^2 - AK^2} = \sqrt{100 - 36} = 8\) (см).

Ответ: 8 см.