Страница 77 номер 7.12, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(O\), \(O_1\) — центры нижнего и верхнего оснований цилиндра
\(AB\) — хорда нижнего основания
\(\angle AOB = \alpha\)
угол между прямой \(O_1A\) и плоскостью основания равен \(\beta\)
\(OK = a\) — расстояние от точки \(O\) до хорды \(AB\)

Найти: \(S_{\text{бок}}\).

Решение: Отрезки \(OA\) и \(OB\) — радиусы нижнего основания: \(OA = OB = r\). Расстояние \(a\) от центра \(O\) до хорды \(AB\) не равно нулю (иначе хорда — диаметр, \(\alpha = 180^\circ\), и радиус условием не определяется), поэтому хорда не проходит через центр и \(AOB\) — равнобедренный треугольник; \(OK \perp AB\), точка \(K\) лежит на хорде \(AB\). Отрезок \(OO_1\) оси цилиндра перпендикулярен плоскости нижнего основания и равен высоте цилиндра: \(OO_1 = h\). Точка \(A\) лежит в плоскости нижнего основания, поэтому \(OO_1 \perp OA\) и прямая \(OA\) является проекцией прямой \(O_1A\) на плоскость основания цилиндра. Следовательно, угол \(O_1AO\) — угол между прямой \(O_1A\) и плоскостью основания: \(\angle O_1AO = \beta\).

В равнобедренном треугольнике \(AOB\) высота \(OK\) является медианой и биссектрисой, поэтому \(\angle AOK = \frac{\alpha}{2}\).

Из треугольника \(AKO\) (\(\angle AKO = 90^\circ\)): \(r = OA = \frac{OK}{\cos\frac{\alpha}{2}} = \frac{a}{\cos\frac{\alpha}{2}}\).

Из треугольника \(O_1OA\) (\(\angle O_1OA = 90^\circ\)): \(h = OO_1 = OA\operatorname{tg}\beta = \frac{a\operatorname{tg}\beta}{\cos\frac{\alpha}{2}}\).

\[S_{\text{бок}} = 2\pi rh = 2\pi \cdot \frac{a}{\cos\frac{\alpha}{2}} \cdot \frac{a\operatorname{tg}\beta}{\cos\frac{\alpha}{2}} = \frac{2\pi a^2\operatorname{tg}\beta}{\cos^2\frac{\alpha}{2}}.\]

Ответ: \(\frac{2\pi a^2\operatorname{tg}\beta}{\cos^2\frac{\alpha}{2}}\).