Вопросы после параграфа §8 на странице 85, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Призму называют вписанной в цилиндр, если её основания вписаны в основания цилиндра. При этом цилиндр называют описанным около призмы. Например, правильная треугольная призма \(ABCA_1B_1C_1\) вписана в цилиндр: вершины её оснований лежат на окружностях оснований цилиндра с центрами \(O\) и \(O_1\).

Ответ: призму называют вписанной в цилиндр, если её основания вписаны в основания цилиндра.

Боковые рёбра призмы, вписанной в цилиндр, являются образующими цилиндра. Действительно, пусть \(AA_1\) — боковое ребро такой призмы, а \(O\) и \(O_1\) — центры окружностей, описанных около её оснований, то есть центры оснований цилиндра. При параллельном переносе на вектор \(\overrightarrow{AA_1}\) нижнее основание призмы переходит в верхнее, а окружность, описанная около нижнего основания, — в окружность, описанную около верхнего; поэтому центр \(O\) переходит в центр \(O_1\), то есть \(\overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{OO_1}\). Отрезок \(OO_1\) оси цилиндра перпендикулярен основаниям цилиндра, значит, и параллельный ему отрезок \(AA_1\) перпендикулярен основаниям. Точки \(A\) и \(A_1\) лежат на окружностях оснований цилиндра, следовательно, отрезок \(AA_1\) — образующая цилиндра. Отсюда следует, что призма, вписанная в цилиндр, является прямой.

Ответ: боковые рёбра призмы, вписанной в цилиндр, являются образующими цилиндра.

Призма, вписанная в цилиндр, является прямой (её боковые рёбра — образующие цилиндра), а её основания вписаны в окружности оснований цилиндра. Вписать в цилиндр можно такую прямую призму, основания которой являются вписанными многоугольниками. Так, правильную призму и прямую треугольную призму можно вписать в цилиндр: около правильного многоугольника и около любого треугольника можно описать окружность.

Ответ: в цилиндр можно вписать прямую призму, основания которой являются вписанными многоугольниками, например правильную призму и прямую треугольную призму.

Призму называют описанной около цилиндра, если её основания описаны около оснований цилиндра. При этом цилиндр называют вписанным в призму. Например, правильная четырёхугольная призма \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) описана около цилиндра: стороны её оснований касаются окружностей оснований цилиндра с центрами \(O\) и \(O_1\); в частности, сторона \(AB\) касается окружности нижнего основания в точке \(M\), а сторона \(A_1B_1\) — окружности верхнего основания в точке \(M_1\).

Ответ: призму называют описанной около цилиндра, если её основания описаны около оснований цилиндра.

Говорят, что боковая грань призмы касается цилиндра, если плоскость, содержащая эту грань, является касательной плоскостью к цилиндру. Плоскости, содержащие боковые грани призмы, описанной около цилиндра, являются касательными плоскостями к цилиндру. Например, у описанной призмы \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) грань \(AA_1B_1B\) касается цилиндра по образующей \(MM_1\), концы которой — точки касания сторон \(AB\) и \(A_1B_1\) с окружностями оснований цилиндра.

Ответ: говорят, что боковая грань призмы касается цилиндра, если плоскость, содержащая эту грань, является касательной плоскостью к цилиндру.

Призма, описанная около цилиндра, является прямой, а её основания описаны около окружностей оснований цилиндра. Описать около цилиндра можно такую прямую призму, основания которой являются описанными многоугольниками. Так, правильную призму и прямую треугольную призму можно описать около цилиндра: в правильный многоугольник и в любой треугольник можно вписать окружность.

Ответ: около цилиндра можно описать прямую призму, основания которой являются описанными многоугольниками, например правильную призму и прямую треугольную призму.