Страница 77 номер 7.14, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Вокруг какой из сторон прямоугольника, большей или меньшей, надо его вращать, чтобы получить цилиндр с большей площадью: 1) боковой поверхности; 2) полной поверхности?
Пусть \(ABCD\) — данный прямоугольник, \(AB = a\) — его большая сторона, \(AD = b\) — меньшая (\(a > b\)). При вращении прямоугольника вокруг прямой, содержащей его сторону, эта сторона становится отрезком оси между основаниями, то есть равна высоте цилиндра, а две соседние с ней стороны при вращении образуют основания, то есть равны радиусу основания.
При вращении вокруг большей стороны \(AB\) получается цилиндр с высотой \(AB = a\) и радиусом основания \(AD = b\), при вращении вокруг меньшей стороны \(AD\) — цилиндр с высотой \(AD = b\) и радиусом основания \(AB = a\).
1) По формуле \(S_{\text{бок}} = 2\pi rh\) площадь боковой поверхности первого цилиндра равна \(2\pi \cdot b \cdot a = 2\pi ab\), второго — \(2\pi \cdot a \cdot b = 2\pi ab\). Площади равны: площадь боковой поверхности не зависит от того, вокруг какой стороны вращать прямоугольник.
2) По формуле \(S_{\text{полн}} = 2\pi rh + 2\pi r^2\) площадь полной поверхности первого цилиндра равна \(2\pi ab + 2\pi b^2\), второго — \(2\pi ab + 2\pi a^2\). Так как \(a > b > 0\), то \(a^2 > b^2\) и \(2\pi ab + 2\pi a^2 > 2\pi ab + 2\pi b^2\). Значит, цилиндр с большей площадью полной поверхности получается при вращении прямоугольника вокруг меньшей стороны.
Ответ: 1) площадь боковой поверхности одна и та же при вращении вокруг любой из сторон; 2) вокруг меньшей стороны.
