Страница 85 номер 8.8, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1\) — правильная шестиугольная призма
\(AB = a\)
\(\angle AB_1B = \alpha\)
цилиндр описан около призмы

Найти: площадь осевого сечения цилиндра.

Решение: Цилиндр описан около призмы, поэтому основания призмы — правильные шестиугольники \(ABCDEF\) и \(A_1B_1C_1D_1E_1F_1\) — вписаны в основания цилиндра, а боковые рёбра призмы являются образующими цилиндра. Пусть \(O\) и \(O_1\) — центры нижнего и верхнего оснований цилиндра, \(r\) — радиус основания, \(h\) — высота цилиндра.

Радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника, равен его стороне, поэтому \(r = OA = AB = a\).

Боковое ребро \(BB_1\) — образующая цилиндра, оно перпендикулярно плоскости основания, поэтому треугольник \(ABB_1\) прямоугольный (\(\angle ABB_1 = 90^\circ\)). Из него: \(BB_1 = AB \operatorname{ctg} \alpha = a \operatorname{ctg} \alpha\). Любая образующая цилиндра является его высотой, поэтому \(h = BB_1 = a \operatorname{ctg} \alpha\).

Осевое сечение цилиндра — прямоугольник, две стороны которого — диаметры оснований, а две другие — образующие. Центральные углы \(AOB\), \(BOC\) и \(COD\) правильного шестиугольника равны \(60^\circ\), поэтому \(\angle AOD = 180^\circ\) и диагональ \(AD\) — диаметр окружности основания цилиндра. Боковое ребро \(AA_1\) — образующая цилиндра, поэтому \(AA_1 \parallel OO_1\), и плоскость сечения \(ADD_1A_1\), содержащая прямую \(AA_1\) и центр \(O\) — середину диаметра \(AD\), — содержит и ось \(OO_1\). Значит, \(ADD_1A_1\) — осевое сечение цилиндра. Его площадь \(S_{ADD_1A_1} = AD \cdot AA_1 = 2r \cdot h = 2a \cdot a \operatorname{ctg} \alpha = 2a^2 \operatorname{ctg} \alpha\).

Ответ: \(2a^2 \operatorname{ctg} \alpha\).