Страница 78 номер 7.25, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Глава 2. Тела вращения. §7. Цилиндр. Страница 78. Номер 7.25

Дано:
\(O\), \(O_1\) — центры нижнего и верхнего оснований цилиндра
\(A\) — точка окружности нижнего основания, \(B\) — точка окружности верхнего основания
угол между прямыми \(OA\) и \(O_1B\) равен \(60^\circ\)
диаметр основания равен высоте: \(2r = h\)

Найти: угол между прямыми \(AB\) и \(OO_1\).

Решение: Проведём образующую \(BB'\) цилиндра. Она перпендикулярна плоскости нижнего основания, то есть \(B'\) — проекция точки \(B\) на эту плоскость, и \(BB' = h = 2r\). Отрезки \(OO_1\) и \(B'B\) параллельны (оба перпендикулярны плоскости основания) и равны, поэтому \(O_1BB'O\) — прямоугольник и \(OB' \parallel O_1B\). Значит, угол между прямыми \(OA\) и \(OB'\) равен углу между прямыми \(OA\) и \(O_1B\), то есть \(60^\circ\). Прямые \(OA\) и \(OB'\) пересекаются в точке \(O\), а угол между прямыми не больше \(90^\circ\), поэтому возможны два случая: \(\angle AOB' = 60^\circ\) или \(\angle AOB' = 120^\circ\).

Прямая \(BB'\) параллельна оси \(OO_1\), поэтому угол между прямыми \(AB\) и \(OO_1\) равен углу между прямыми \(AB\) и \(BB'\), то есть углу \(ABB'\) треугольника \(ABB'\), в котором \(\angle AB'B = 90^\circ\) (\(BB'\) перпендикулярна плоскости основания). Обозначим \(\angle ABB' = \varphi\); тогда \(\operatorname{tg}\varphi = \frac{AB'}{BB'} = \frac{AB'}{2r}\).

Если \(\angle AOB' = 60^\circ\), то равнобедренный треугольник \(AOB'\) (\(OA = OB' = r\)) с углом \(60^\circ\) при вершине — равносторонний, \(AB' = r\), \(\operatorname{tg}\varphi = \frac{r}{2r} = \frac{1}{2}\) и \(\varphi = \operatorname{arctg}\frac{1}{2}\).

график

Если \(\angle AOB' = 120^\circ\), то по теореме косинусов из треугольника \(AOB'\): \(AB'^2 = OA^2 + OB'^2 - 2 \cdot OA \cdot OB' \cos 120^\circ = r^2 + r^2 + r^2 = 3r^2\), \(AB' = r\sqrt{3}\), \(\operatorname{tg}\varphi = \frac{r\sqrt{3}}{2r} = \frac{\sqrt{3}}{2}\) и \(\varphi = \operatorname{arctg}\frac{\sqrt{3}}{2}\).

график