Страница 80 номер 7.35, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Вокруг цилиндрической колонны высотой 5 м и диаметром 1 м обвита узкая лента, которая поднимается от подножия до верха колонны тремя полными витками. Найдите длину ленты.
Дано:
\(h = 5\) м
\(2r = 1\) м
лента — три полных витка
Найти: длину ленты.
Решение: Лента поднимается равномерно, поэтому на развёртке боковой поверхности каждый её виток изображается отрезком. Разрежем боковую поверхность колонны по образующей, проходящей через начало ленты, и развернём её: получим прямоугольник со сторонами \(2\pi r = \pi\) м и \(h = 5\) м. За один виток лента обходит колонну и поднимается на \(\frac{5}{3}\) м, поэтому на развёртке каждый виток — отрезок, который соединяет точки двух сторон длиной 5 м и поднимается на \(\frac{5}{3}\) м.
Приложим к развёртке справа ещё две такие же развёртки и перенесём в них второй и третий витки: получим прямоугольник \(ABCD\) со сторонами \(AB = 3\pi\) м и \(BC = 5\) м, где \(A\) — начало ленты. Каждый из трёх отрезков проходит по горизонтали \(\pi\) м и поднимается на \(\frac{5}{3}\) м, а конец каждого совпадает с началом следующего, поэтому вместе они составляют диагональ \(AC\), и длина ленты равна \(AC\).
Из треугольника \(ABC\) (\(\angle B = 90^\circ\)): \(AC = \sqrt{BC^2 + AB^2} = \sqrt{25 + 9\pi^2}\) (м).
Ответ: \(\sqrt{25 + 9\pi^2}\) м.
Вокруг цилиндрической колонны высотой 5 м и диаметром 1 м обвита узкая лента, которая поднимается от подножия до верха колонны тремя полными витками. Найдите длину ленты.
Дано:
\(h = 5\) м
\(2r = 1\) м
лента — три полных витка
Найти: длину ленты.
Решение: Лента поднимается равномерно, поэтому на развёртке боковой поверхности каждый её виток изображается отрезком. Разрежем боковую поверхность колонны по образующей, проходящей через начало ленты, и развернём её: получим прямоугольник со сторонами \(2\pi r = \pi\) м и \(h = 5\) м. За один виток лента обходит колонну и поднимается на \(\frac{5}{3}\) м, поэтому на развёртке каждый виток — отрезок, который соединяет точки двух сторон длиной 5 м и поднимается на \(\frac{5}{3}\) м: первый идёт из нижнего левого угла развёртки, второй начинается на высоте \(\frac{5}{3}\) м, третий — на высоте \(\frac{10}{3}\) м и заканчивается в верхнем правом углу.
Приложим к развёртке справа ещё две такие же развёртки и перенесём в них второй и третий витки: получим прямоугольник \(ABCD\) со сторонами \(AB = 3\pi\) м и \(BC = 5\) м, где \(A\) — начало ленты. Каждый из трёх отрезков проходит по горизонтали \(\pi\) м и поднимается на \(\frac{5}{3}\) м, а конец каждого совпадает с началом следующего, поэтому вместе они составляют диагональ \(AC\), и длина ленты равна \(AC\).
Из треугольника \(ABC\) (\(\angle B = 90^\circ\)): \(AC = \sqrt{BC^2 + AB^2} = \sqrt{25 + 9\pi^2}\) (м).
Ответ: \(\sqrt{25 + 9\pi^2}\) м.
