Страница 86 номер 8.12, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — призма
\(ABCD\) — равнобокая трапеция, \(AD \parallel BC\)
\(BC = 8\) см, \(AD = 18\) см
высота призмы — \(10\) см
цилиндр вписан в призму

Найти: \(S_{\text{бок}}\) цилиндра.

Решение: Цилиндр вписан в призму, значит, основания призмы описаны около оснований цилиндра: окружности оснований цилиндра с центрами \(O\) и \(O_1\) вписаны в трапеции \(ABCD\) и \(A_1B_1C_1D_1\), и радиус \(r\) основания цилиндра равен радиусу окружности, вписанной в трапецию \(ABCD\). Основания цилиндра лежат в плоскостях оснований призмы, поэтому высота цилиндра равна высоте призмы: \(h = 10\) см.

В четырёхугольнике, описанном около окружности, суммы противолежащих сторон равны: \(AB + CD = AD + BC = 18 + 8 = 26\) (см). Трапеция равнобокая, поэтому \(AB = CD = 13\) см.

Проведём высоту \(BH\) трапеции.

В равнобокой трапеции \(AH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{18 - 8}{2} = 5\) (см). Из треугольника \(ABH\) (\(\angle AHB = 90^\circ\)): \(BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{169 - 25} = 12\) (см).

Окружность касается параллельных сторон \(AD\) и \(BC\) трапеции. Радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны этим прямым, а через центр \(O\) в плоскости трапеции проходит только одна прямая, перпендикулярная им; поэтому оба радиуса лежат на этой прямой, и отрезок между точками касания — диаметр, перпендикулярный \(AD\) и \(BC\). Значит, расстояние между прямыми \(AD\) и \(BC\), то есть высота трапеции, равно \(2r\): \(2r = BH = 12\) см, \(r = 6\) см.

\(S_{\text{бок}} = 2\pi rh = 2\pi \cdot 6 \cdot 10 = 120\pi\) (см\(^2\)).

Ответ: \(120\pi\) см\(^2\).