Страница 77 номер 7.17, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(O\), \(O_1\) — центры нижнего и верхнего оснований цилиндра
сечение, параллельное оси \(OO_1\), отсекает от окружности нижнего основания дугу \(AB\), равную \(120^\circ\)
расстояние от оси \(OO_1\) до плоскости сечения равно \(\sqrt{3}\) см
диагональ сечения равна 10 см

Найти: площадь сечения.

Решение: Образующие \(AA_1\) и \(BB_1\) цилиндра параллельны оси \(OO_1\), а ось параллельна плоскости сечения, поэтому прямые \(AA_1\) и \(BB_1\) параллельны этой плоскости или лежат в ней; так как точки \(A\) и \(B\) ей принадлежат, образующие \(AA_1\) и \(BB_1\) лежат в плоскости сечения. Сечением цилиндра плоскостью, проходящей через две его образующие, является прямоугольник, значит, сечение — прямоугольник \(AA_1B_1B\); его диагональ \(AB_1 = 10\) см.

Пусть \(K\) — середина хорды \(AB\). Центральный угол \(AOB\) равен градусной мере дуги \(AB\), то есть \(120^\circ\). Треугольник \(AOB\) равнобедренный (\(OA = OB\) — радиусы основания), поэтому его медиана \(OK\) является высотой и биссектрисой: \(OK \perp AB\), \(\angle AOK = 60^\circ\). Кроме того, \(OK \perp AA_1\), так как образующая \(AA_1\) перпендикулярна плоскости основания. Прямая \(OK\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(AB\) и \(AA_1\) плоскости сечения, следовательно, \(OK\) — перпендикуляр к этой плоскости. Ось \(OO_1\) параллельна плоскости сечения, поэтому расстояние от оси до плоскости сечения равно длине перпендикуляра \(OK\), опущенного на эту плоскость из точки \(O\) оси: \(OK = \sqrt{3}\) см.

Из треугольника \(AOK\) (\(\angle AKO = 90^\circ\)): \(AK = OK\operatorname{tg}60^\circ = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3\) (см), \(AB = 2AK = 6\) (см).

Из треугольника \(ABB_1\) (\(\angle ABB_1 = 90^\circ\)): \(BB_1 = \sqrt{AB_1^2 - AB^2} = \sqrt{100 - 36} = 8\) (см).

\(S_{AA_1B_1B} = AB \cdot BB_1 = 6 \cdot 8 = 48\) (см\(^2\)).

Ответ: 48 см\(^2\).