Страница 38 номер 4.23, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

В условии коэффициент записан как \(\frac{h}{h_1}\) — это коэффициент гомотетии, переводящей \(F_1\) в \(F\); докажем, что \(F_1\) получается из \(F\) гомотетией с центром \(O\) и коэффициентом \(\frac{h_1}{h}\).

Плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) параллельны, точка \(O\) не лежит в них, \(h\) и \(h_1\) — расстояния от точки \(O\) до плоскостей \(\alpha\) и \(\beta\). Каждой точке \(X\) фигуры \(F\), лежащей в плоскости \(\alpha\), сопоставлена точка \(X_1\) пересечения прямой \(OX\) с плоскостью \(\beta\); фигура \(F_1\) составлена из всех таких точек \(X_1\). Как видно на рисунке, точка \(O\) не лежит между плоскостями \(\alpha\) и \(\beta\).

Пусть \(OH\) — перпендикуляр, опущенный из точки \(O\) на плоскость \(\alpha\); тогда \(OH = h\). Прямая \(OH\) пересекает плоскость \(\alpha\), поэтому пересекает и параллельную ей плоскость \(\beta\) — в некоторой точке \(H_1\).

Докажем, что \(OH \perp \beta\). Через прямую \(OH\) проведём две различные плоскости. Каждая из них пересекает плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) по параллельным прямым (прямые, по которым две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью, параллельны): одна из этих прямых проходит через точку \(H\), другая — через точку \(H_1\). Прямая \(OH\) перпендикулярна плоскости \(\alpha\), поэтому перпендикулярна каждой прямой этой плоскости, а в плоскости прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой. Значит, прямая \(OH\) перпендикулярна двум прямым плоскости \(\beta\), проходящим через точку \(H_1\); эти прямые различны: если бы они совпали, обе проведённые плоскости проходили бы через эту прямую и пересекающую её прямую \(OH\), а через две пересекающиеся прямые проходит только одна плоскость — проведённые плоскости совпали бы, а они различны. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(OH \perp \beta\), поэтому \(OH_1 = h_1\).

Пусть \(X\) — точка фигуры \(F\), а \(X_1\) — соответствующая ей точка фигуры \(F_1\). Точка \(O\) не лежит между плоскостями \(\alpha\) и \(\beta\), поэтому она не лежит ни на отрезке \(XX_1\), ни на отрезке \(HH_1\): концы каждого из них принадлежат этим плоскостям. Значит, точки \(X\) и \(X_1\) лежат на одном луче с началом \(O\), точки \(H\) и \(H_1\) — тоже.

Если точка \(X\) совпадает с точкой \(H\), то \(X_1\) совпадает с \(H_1\) и \(\frac{OX_1}{OX} = \frac{OH_1}{OH} = \frac{h_1}{h}\).

Если точка \(X\) отлична от \(H\), то и точка \(X_1\) отлична от \(H_1\): при \(X_1 = H_1\) прямые \(OX\) и \(OH\) совпали бы, и точка \(X\) — точка пересечения этой прямой с плоскостью \(\alpha\) — совпала бы с \(H\), а она от \(H\) отлична. Прямые \(HX\) и \(H_1X_1\) лежат в плоскостях \(\alpha\) и \(\beta\), поэтому \(OH \perp HX\) и \(OH_1 \perp H_1X_1\). Прямоугольные треугольники \(OHX\) и \(OH_1X_1\) имеют общий острый угол при вершине \(O\) (лучи \(OH_1\) и \(OX_1\) совпадают с лучами \(OH\) и \(OX\)), поэтому они подобны и \(\frac{OX_1}{OX} = \frac{OH_1}{OH} = \frac{h_1}{h}\).

В обоих случаях векторы \(\overrightarrow{OX_1}\) и \(\overrightarrow{OX}\) сонаправлены и \(|\overrightarrow{OX_1}| = \frac{h_1}{h}|\overrightarrow{OX}|\), поэтому по определению произведения вектора на число \(\overrightarrow{OX_1} = \frac{h_1}{h}\overrightarrow{OX}\), то есть точка \(X_1\) — образ точки \(X\) при гомотетии с центром \(O\) и коэффициентом \(\frac{h_1}{h}\). Значит, фигура \(F_1\), составленная из точек \(X_1\), — образ фигуры \(F\) при этой гомотетии. Из того же равенства \(\overrightarrow{OX} = \frac{h}{h_1}\overrightarrow{OX_1}\), поэтому фигура \(F\) — образ фигуры \(F_1\) при гомотетии с центром \(O\) и коэффициентом \(\frac{h}{h_1}\).

Ответ: фигура \(F_1\) гомотетична фигуре \(F\) с центром \(O\) и коэффициентом \(\frac{h_1}{h}\), а фигура \(F\) гомотетична фигуре \(F_1\) с тем же центром и коэффициентом \(\frac{h}{h_1}\).