Страница 40 номер 4.38, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Дан тетраэдр \(DABC\). Докажите, что равенство \(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} = \vec{0}\) выполняется тогда и только тогда, когда точка \(M\) — центроид тетраэдра \(DABC\).
Пусть \(O\) — центроид тетраэдра \(DABC\). Вектор, проведённый из любой точки пространства в центроид тетраэдра, равен четверти суммы векторов, проведённых из этой точки в вершины тетраэдра. Для точки \(M\) получаем \(\overrightarrow{MO} = \frac{1}{4}\left(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD}\right)\), то есть \[\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} = 4\overrightarrow{MO}.\]
Если \(M\) — центроид тетраэдра, то точки \(M\) и \(O\) совпадают, \(\overrightarrow{MO} = \vec{0}\), и сумма \(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD}\) равна \(4 \cdot \vec{0} = \vec{0}\).
Обратно, пусть \(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} = \vec{0}\). Тогда \(4\overrightarrow{MO} = \vec{0}\), откуда \(4|\overrightarrow{MO}| = 0\) и \(MO = 0\): точка \(M\) совпадает с центроидом \(O\) тетраэдра.
Ответ: равенство \(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} = \vec{0}\) выполняется тогда и только тогда, когда \(M\) — центроид тетраэдра \(DABC\).
