Страница 40 номер 4.40, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Точки \(N\) и \(M\) — середины отрезков \(AB\) и \(CD\) соответственно. Докажите равенство \(\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{CB})\).
Вектор, проведённый из точки в середину отрезка, равен полусумме векторов, проведённых из этой точки в концы отрезка, поэтому \(\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB})\).
По правилу треугольника \(\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{DA}\) и \(\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{CB}\). Точка \(M\) — середина отрезка \(CD\), поэтому векторы \(\overrightarrow{MD}\) и \(\overrightarrow{MC}\) противоположны и \(\overrightarrow{MD} + \overrightarrow{MC} = \vec{0}\). Значит, \[\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{MD} + \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{CB}) = \frac{1}{2}(\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{CB}).\]
Ответ: \(\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{CB})\).
Точки \(N\) и \(M\) — середины отрезков \(AB\) и \(CD\) соответственно. Докажите равенство \(\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{CB})\).
Точка \(N\) — середина отрезка \(AB\). Вектор, проведённый из точки в середину отрезка, равен полусумме векторов, проведённых из этой точки в концы отрезка, поэтому \(\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB})\).
По правилу треугольника \(\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{DA}\) и \(\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{CB}\). Точка \(M\) — середина отрезка \(CD\), поэтому векторы \(\overrightarrow{MD}\) и \(\overrightarrow{MC}\) противоположны и \(\overrightarrow{MD} + \overrightarrow{MC} = \vec{0}\). Значит, \[\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{MD} + \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{CB}) = \frac{1}{2}(\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{CB}).\]
Ответ: \(\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{CB})\).
