Страница 39 номер 4.29, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Точка \(M\) — середина ребра \(BC\) тетраэдра \(DABC\), точка \(K\) — середина отрезка \(DM\). Выразите вектор \(\overrightarrow{AK}\) через векторы \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{AD}\).
Для середины \(M\) отрезка \(BC\) и любой точки \(X\) пространства выполняется равенство \(\overrightarrow{XM} = \frac{1}{2}\left(\overrightarrow{XB} + \overrightarrow{XC}\right)\); при \(X = A\) получаем \(\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\right)\).
Точка \(K\) — середина отрезка \(DM\), поэтому по тому же правилу \[\begin{aligned} &\overrightarrow{AK} = \frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AM}\right) = \frac{1}{2}\overrightarrow{AD} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\right) = {} \\ &= \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow{AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}. \end{aligned}\]
Ответ: \(\overrightarrow{AK} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow{AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}\).
